Нормальные линейные системы ду

имеют вид dx₁/dt = a₁₁ x₁ + a₁₂ x₁₂ + . . . + a_1n x_n + f₁(t)

dx₂/dt = a₂₁ x₁ + a₂₂ x₁₂ + . . . + a_2n x_n + f₂(t) ( 21 )

_{. . . . . . . . . . . . . . . . .}

dx_n/dt = a_n1 x₁ + a_n2 x₁₂ + . . . + a_nn x_n + f_n(t)

Решения системы: а) метод исключения - система сводится к одному уравнению n – ого порядка для одной переменной. Последовательно n раз дифференцируют одно уравнение и исключают другие переменные, используя остальные уравнения.

б) метод интегрируемых комбинаций - комбинируя уравнения иногда удается получить более простую систему уравнений для некоторых линейных комбинаций неизвестных x_i .

Пр. dx/dt = x + y ; dy/dt = x – y . Решение: дифференцируем по t первое уравнение: d²x/dt² = dx/dt + dy/dt . Исключим из него dy/dt и y, используя оба исходных уравнения d²x/dt² - 2x = 0 . Характеристическое уравнение k² – 2 = 0 имеет корни k_1,2 = и общее решение для х принимает вид х = . Общее решение для y находим из 1 – ого уравнения y = dx/dt – x =

8