Лоду 2 – ого порядка

y’’ + p(x) y’ + q(x) y = 0 ( 13 )

Пусть функции y1, y2, . . . , yn - частные решения уравнения ( 13 ). Определим число линейно независимых решений среди них..

Умножим первую строчку вронскиана ( 12 ) на q(x) , вторую строчку на p(x) и прибавим их к третьей строчке. В силу ( 13 ) она обратится в 0 и получаем W_n = 0. Следовательно, при частные решения линейно зависимы. Независимыми могут быть только два частных решения.

Аналогичным образом можно доказать, что ЛОДУ n – ого порядка имеет n линейно независимых решений.

Общая теорема: если у₁(х) и у₂(х) два частных линейно независимых решения однородного уравнения ( 13 ), то его общее решение имеет вид y₀ = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) и содержит две произвольные константы С₁ , С₂ .

Условие линейной независимости частных решений можно представить в виде у₁/у₂ const . Если y₁ = k y₂ , то в решении y₀ остается одна константа (kС₁+ C₂ ) и оно перестает быть общим.

Лнду 2 – ого порядка

y’’ + p(x) y’ + q(x) y = f(x) (14)

В правой части появляется произвольная функция f(x).

Общая теорема: пусть y*(x) - частное решение неоднородного уравнения и

y₀ - общее решение соответствующего однородного уравнения ( f(x) отбрасывается). Тогда общее решение неоднородного уравнения есть сумма частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения :

y = y₀ + y* ( 15 )

Действительно, подстановка суммы двух решений ( 15 ) в ( 14 ) приводит к двум отдельным уравнения – однородному и неоднородному.

Если известно одно частное решение однородного уравнения у₁(х) , то замена

y(x) = у₁(х) z(x) dx понижает порядок ЛНДУ.

Лоду 2 – ого порядка с постоянными коэффициентами.

y’’ + p y’ + q y = 0 (16)

Частные решения ищем в виде y = exp(k x), где k - const, и получаем

exp(k x) (k² + p k + q) = 0. Характеристическое уравнение k² + p k + q = 0

имеет корни k₁, k₂, которые дают два частных решения : y₁ =exp(k₁x), y₂ =exp(k₂x)

и от них переходим к общему решению. Возможны три случая :

1. k₁ k₂ , тогда y₀ = C₁ exp(k₁ x) + C₂ exp(k₂ x)

2. k₁ = k₂ = k = -p/2 , тогда y₀ = exp(k x) [C₁ + C₂ x ] ( 17 )

3. k₁ = a + i b, тогда y₀ = exp(a x) [C₁ cos bx + C₂ sin bx ]

k₂ = a - i b

Проверка независимости решений. 1) y₁ / y₂ = const ;

2) y₂ = x e^-px/2 , y`<sub>2</sub> = ( 1 – px/2) e<sup>-px/2</sup> , y``<sub>2</sub> = ( -p + (p/2)<sup>2</sup>x ) e<sup>-px/2</sup> , y``<sub>2</sub> + p y`₂ + (p/2)² y₂ =

= [( -p + (p/2)²x ) + p ( 1 – px/2) + (p/2)²x ] e^-px/2 = 0  0 = 0 , y₁ / y₂ = 1/x  const ;

3) y₁ , y₂ - реальная и мнимая часть функции y = e^{( a  i b ) x} , y₁ / y₂ = ctg bx  const