
- •Казанский государственный энергетический университет Кафедра «Высшей математики»
- •Тема : Дифференциальные уравнения.
- •Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения. Линейные и однородные диф.Уравнения n - ого порядка (лоду) имеют общий вид
- •Лоду 2 – ого порядка
- •Пусть функции y1, y2, . . . , yn - частные решения уравнения ( 13 ). Определим число линейно независимых решений среди них..
- •Лнду 2 – ого порядка
- •Лоду 2 – ого порядка с постоянными коэффициентами.
- •Лнду 2 – ого порядка с постоянными коэффициентами.
- •Нормальные линейные системы ду
Казанский государственный энергетический университет Кафедра «Высшей математики»
Опорные конспекты лекций.
Тема : Дифференциальные уравнения.
Дифференциальные уравнения 1-ого порядка.
В уравнения, описывающие различные процессы, могут входить кроме аргумента, искомой функции и производные от этой функции. Пр. Второй закон Ньютона :
ma
= F
md2S
(t)/dt2
= F(t,
S(t),
S’(t))
. Это
принципиально новый тип уравнений -
дифференциальные уравнения (ДУ).
Опр. Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) наз. уравнение, содержащее независимую переменную х, искомую функцию у и ее производные, т.е. дифференциалы
F(x, y, y’, y’’, . . . , y(n) ) = 0 ( 1 )
Если функция зависит от нескольких аргументов, то имеем дело с ДУ в частных производных (ДУЧП).
Пр. 2x + y – 3y’ = 0 ; xy dx = (2x + 1) dy
Опр. Порядком ДУ наз. порядок наивысшей производной.
Уравнения 1-ого порядка : F(x, y, y’) = 0 – неявная форма; y’ = f(x, y) - явная форма
Опр. Решением ДУ наз.всякая функция y = g(x), которая обращает уравнение в тождество.
Пр. Показать, что y = C/x есть решение ДУ y’ = - y/x .
y’ = (C/x) = - C/x2 , - y/x = - C/x2 , т.е. равенство выполняется - C/x2 = - C/x2
Общее решение ДУ 1-ого порядка содержит произвольную константу С и записывается
y = g(x, C) , т.к. всегда получается в результате интегрирования некоторой функции.
Ч
астное
решение
y
= g(x,C0)
получается
из общего при конкретном значении
константы С
= С0
. Графически
частному решению соответствует
интегральная
кривая, а
общему решению
– семейство интегральных кривых.
Само уравнение y’
= f(x,
y)
при конкретных
x0
, y0
определяет
тангенс наклона касательной к интегральной
кривой, проходящей через данную точку
y’ = f(x0 , y0 ) = k = tg
Решение, которое не получается из общего решения наз. особым решением. Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям y(x0) = y0 , наз. задачей Коши.
Пр. Доказать, что y = C/x + x2 является решением ДУ y’ + y/x = 3x . Найти частное решение с начальным условием y(1) = 1
Проверим : (C/x + x2)’ + (C/x + x2)/x = - C/x2 + 2x + C/x2 + x = 3x , т.е. 3x = 3x Вычисление константы : 1 = С/1 + 12 C = 0 , частное решение : y = x2
Решение ДУ самого
простого вида
y’
= f(x)
сводится к
нахождению первообразной от f(x).
Умножим
обе части
уравнения на dx
и проинтегрируем
y`dx
=
f(x)
dx.
y
= F(x)
+ C
. В ДУ n
–ого порядка
y(n)
= f(x)
интегрирование проводится n
раз и общее решение включает n
констант интегрирования y
= g(x,
C1
, C2
, . . . , Cn).
Процедура
решения ДУ наз. интегрированием
ДУ.
Простейшие ДУ 1-ого порядка.
1. y’ = f(x) g(y) - ДУ с разделяющимися переменными.
2. y’ = f(y/x) - однородное ДУ
3. y’ + P(x)y = Q(x) - линейное ДУ
4. y’ + P(x) y = Q(x) yn - ДУ Бернулли
P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0, где
- уравнение в полных дифференциалах
Это канонический вид ДУ. При решении ДУ его сначала приводят к каноническому виду и затем используют особый прием решения для каждого типа ДУ.
OДУ с разделяющимися переменными.
Канонический вид y’ = f(x) g(y) ( 2 )
т.е. производная равна произведению функции от х на функцию от y. Или в дифференциальной форме
M1(x) N1(y) dx + M2(x) N2(y) dy = 0 ( 2а )
Алгоритм решения.
1. Представим
производную как отношение дифференциалов
y`
=
.
(Это определение производной по Ньютону).
Произведем разделение переменных
dy = f(x) dx , где g(y)
0. Т.к. произведе-ние любой функции на дифференциал аргумента есть дифференциал первообразной этой функции, то приходим к равенству двух дифференциалов dG(y) = dF(x).
3. Проинтегрируем левую часть равенства с разделенными переменными по у, правую по х и найдем первообразные G(y), F(x).
4. Из равенства дифференциалов dG(y) = dF(x) следует равенство первообразных G(y) = F(x) + C , которое и определяет общее решение ДУ в неявной форме.
Опр. Общее решение ДУ в неявной форме наз. общим интегралом.
Пр. y’ = 1 + y2 , dy/dx = 1 + y2 , dy/(1 + y2) = dx , dy/(1 + y2) = dx ,
arctg y = x + C y = tg(x + C)
общий интеграл общее решение
Пр. y’
= 2
; y’ = x y ; y’ = x y2
; y’ = - x / y ; xy dx + (x + 1) dy = 0
Однородное диф.уравнение.
Канонический вид y’ = g(y/x) ( 3 )
т.е. производная равна некоторой функции от отношения y/x . В общем случае каждый член однородного уравнения имеет множитель xn ym, где n, m – произвольны, а n + m = const. Пусть перед y’ стоит множитель А , тогда после умножения всех членов уравнения на А-1 придем к каноническому виду уравнения ( 3 ), где n + m = 0.
Пр. xy2
y` = 3x2y
+ y3
|
y` = 3
, n + m = 3
n + m = 0
ДУ y’ = g(y/x) решается заменой y/x = u или y = x u . Тогда y’ = u + x u’ и получаем уравнение с разделяющимися переменными u + x u’ = g(u) или u’ = (g(u) - u)(1/x).
(
3a )
Пр. 2xyy’ = x2 + y2 , (n+m=2). Умножим на 1/xy, тогда 2y’ = x/y + y/x и (n+m=0). Пусть y/x = u или y = x u , тогда 2(u + xu’) = 1/u + u , u’ = [(1–u2 )/2u] (1/x) - ДУ с разделяющимися. переменными, 2u du/(1-u2) = dx/x и т.д.
Общий интеграл: - ln(1– u2) = ln x + ln C = ln Cx
Пр. y`
= y/x
+ x/y
, y2
+ x2y`
= xyy`
, y
+
-
xy`
= 0
.Линейное диф.уравнение.
Канонический вид y’ + P(x) y = Q(x) ( 4 )
т.е. y и y’ входят в первой степени (линейно). Подстановка y = u(x)v(x) сводит это уравнение к двум уравнениям с разделяющимися переменными. В этом случае
y’ = (u v)’ = u’ v + u v’ и уравнение примет вид u’ v + u v’ + P u v = Q . На одну из двух неизвестных величин наложим условие. Пусть u v’ + P u v = 0 ( I ), тогда u’ v = Q ( II ).
( I
) v’
/v
= P(x)
р.п.
частное
решение ln
v
=
v
= exp
(
)
( II )
u’ v = Q(x)
u’ = Q(x) exp (-
)
р.п.
u =
+ С.
Общее решение y = u v = exp ( ) [ + С] .
Пр. y’ –(3/x) y = x. Пусть y = uv, тогда y’= (uv)’ = u’v+uv’ и
u’v + uv’ – (3/x)uv = x. Пусть uv’– (3/x)uv = 0 (1) , тогда u’v = x (11).
( I ) v’ = (3/x)v (р.п.) v’/v = 3/x (част. решение) ln v = 3ln x = ln x3 v = x3 ,
( II ) u’x3 = x (р.п.) u’ = x -2 u = -1/x + C . Ответ : y = uv = x3 (C – 1/x)
Пр. y` + y = ex , xy` + y = ln x + 1 , x2y` = 2xy – 3 .
Уравнение Бернулли.
Канонический вид : y’ + P(x) y = Q(x) yn ( 5 )
т.е. свободный член линейного уравнения имеет дополнительный множитель уn.
Решается подстановкой y = u(x)v(x), аналогично случаю линейного уравнения. Отличие только в уравнение ( II ), вместо u’v(x) = Q(x) получим u-nu’ = Q(x) vn – 1(x).
Пр. (1 – x2)y` -xy = xy2
Уравнение в полных дифференциалах:
Канонический вид : P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 ( 6 )
при условии . Это условие означает, что левая часть равенства есть полный дифференциал некоторой функции двух переменных dU(x,y) и он равен нулю. Но из равенства dU = 0 U(x,y) = C. Это есть решение уравнения. Надо только определить вид первообразной U(x,y) . Согласно теории ФНП U(x,y) можно представить в виде суммы интегралов с переменным верхним пределом
U(x,y)
=
, где х0
, у0
- произвольны.
(
6a )
Пр. (2xy
– 1)dx
+ (3y2
+ x2)dy
= 0 . Проверка
условия
= 2x
,
= 2x
- да Пусть
х0
= у0
= 0 , тогда
U(x,y)
=
= - x
+ y3
+
x2y
= C
. Проверка:
=
2xy
– 1 = P
,
= 3y2
+ x2
= Q
общий интеграл
Пр. e-y dx + (1 – xe-y)dy = 0 , 2x cos2y dx + x dy = 0
Дифференциальные уравнения 2-ого порядка.
Общий вид F(x, y, y’, y’’) = 0 или y’’ = f(x, y, y’). Общее решение y = g(x, C1,C2 ) содержит две произвольные константы и обращает ДУ в верное тождество.