Интеграл на промежутке [a,b] можно представить как сумму интегралов, взятых по произвольным участкам [a,b]. См. Геом. Смысл неопр. Ин-ла.

4⁰ f(x) dx = - f(x) dx Замена пределов меняет общий знак. (опр.)

5⁰ f(x) dx = 0 (нет ширины у трапеции)

6⁰ Теорема о среднем. f(x) dx = f( ) (b – a)

Определенный интеграл от непрерывной функции всегда можно представить как произведение полного приращения аргумента (b – a) на значение функции в некоторой промежуточной точке f( ) , т.к. для любой трапеции можно построить прямоугольник такой же ширины и площади ( a b )

Пр. Вычислить площадь трапеции f(x) = x^k на интервале [0, a] (k- целое число)

1. Разбиение Z . Точками x_i = (a/n) i , где i = 1,2,… n с шагом x = (a/n)

2. Площадь i – ого прямоугольника f( _i) x_i = (x_i)^k x = (a/n)^k+1 i ^k

3) Интегральная сумма S_n = f( _i) x_i = (a/n)^k+1 i ^k

4) Доказано, что i ^k = n^k+1 / (k+1) + A_m n^k-m , где A_m – коэффициенты.

При переходе к пределу n не нулевой вклад дает только первое слагаемое и площадь трапеции равна S = lim S_n = a^k+1 /(k+1) .

Отсюда легко получить площадь трапеции на произвольном интервале [a, b]. Достаточно записать разность площадей трапеций на интервалах [0, b] и [0,a]

S_ab = b^k+1/(k+1) - a^k+1/(k+1)

Если вычислять площадь трапеции от произвольной функции f(x) на интервале

[0,a] методом интегральной суммы, то приходится в f(x) заменять х на (a/n)i и суммировать сложное выражение S_n = (a/n) f((a/n)i) , что удается в редких случаях. К счастью, существует более простой способ определения предела интегральной суммы. В последнем примере связь между исходной функцией f(x) = x^k и результатом S(x) = x^k+1/(k+1) оказалась простой S’(x) = f(x) . Ниже покажем, что такая связь справедлива и для произвольной функции f(x).

Определенный интеграл с переменным верхним пределом.

Такой интеграл имеет вид Ф(х) = f(t) dt , является функцией от х и определяет площадь криволинейной трапеции переменной ширины (х – а). Возьмем производную от этой функции

Ф’(х) = lim Ф(х) / x

x 0

Ф(х+ x) - Ф(х) = f(t)dt - f(t)dt = f(t)dt + f(t)dt - f(t)dt = f( c) x

где с точка на промежутке [x, x+ x] по теореме о среднем. Перейдем к пределу

Ф’(x) = lim Ф(х) / x = lim f( c) x / x = f( c) = f(x)

x 0 x 0

т.е. интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных для подынтегральной функции, т.к.

Ф’(x) = f(x) ( 3 ).

Формула Ньютона – Лейбница.

Это центральная теорема мат. анализа. Она делает замену сложной процедуры вычисления пределов интегральной суммы на процедуру вычисления первообразных.

Теорема. Определенный интеграл от непрерывной функции f(x) на промежутке [a, b] равен разности значений первообразных этой функции F(x) на концах отрезка

f(x) dx = F(b) - F(a) ( 4 )

Доказательство. Имеем функцию f(x) , ее первообразную F(x) и строим функцию

Ф(х) = f(t) dt , которая также является первообразной функции f(x) по условию ( 3 ). Т.о., имеем две первообразных, которые могут отличаться только на константу

Ф(x) = F(x) + C ( 5 )

Значение константы С находим из ( 5 ) при x = a :

f(t) dt = F(a) + C = 0 или C = - F(a)

Теперь равенство ( 5 ) принимает вид f(t) dt = F(х) - F(a) и при x = b переходит в формулу Ньютона – Лейбница ( 4 ) .

Вычисление работы.

Работа по перемещению тела по прямой на расстояние S под воздействием постоянной силы F равна A = F S. Сила может зависеть от величины смещения :

F = f(x). Например, силу растяжение пружины описывает закон Гука : F = k x . В этом случае расчет произведенной работы делают методом интегральной суммы.

1) Участок пути движения тела вдоль Ох от а до b разбивают на n отрезков длиной x = (b – a) / n ; 2) Работа при перемещении вдоль одного отрезка равна

f( _i) x , где f( _i) - среднее значение силы для i –ого отрезка; 3) Сумма по всем отрезкам равна A(n) = f( _i) x и совпадает с интегральной суммой ( 1 ); 4) Переход к пределу n дает точное решение задачи

lim f( _i) x_i = А = f(x) dx ( 1 )

Физический смысл определенного интеграла - работа по перемещению тела в поле переменных сил.

Вычислим этот предел для случая закона Гука. Пусть _i - крайние точки отрезков, тогда f( _i) = k _i = k[a + ] , x = и интегральная сумма равна

A(n) = k = k(b-a){ 1 + i} =

= k(b-a){a + }

Переход к пределу A = lim A(n) = k (b-a){a + (b-a)/2} = k(b² – a²)/2

Формула Ньютона – Лейбница A = k x dx = k x²/2 |_a^b = k (b² – a²)/2

Теорема о среднем : A = k(b – a) (b + a)/2 , т.е. среднее значение силы F( ) = k(b + a)/2

Приемы интегрирования.

Метод замены переменной при вычислении определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница требует дополнительной операции - переопределения пределов интегрирования.

Пр. x²dx /(x³ + 2)² = { t = x³+2, t_н=1³+2 = 3, t_в= 2³+2 =10, dt = 3x²dx, x²dx = dt/3}=

= 1/3 dt/t² = - 1/3 1/t |₃¹⁰ = 7/90

Формула интегрирования по частям принимает вид u dv = u v|_a^b - v du ( 6 )

Пр. (x+3) sin x dx = {u = x+3 , du = dx , dv = sin x dx , v = - cos x } =

= - (x+3) cos x |₀ + cos x dx = 3 + sin x |₀ = 4

Несобственные интегралы.

При введении определенного интеграла предполагалось, что функция f(x) ограничена, а интервал интегрирования конечен. Несобственные интегралы являются обобщением определенного интеграла на случай неограниченной функции и бесконечных пределов интегрирования.

Опр. Несобственным интегралом 1 рода (с бесконечными пределами интегрирования.) наз. предел определенного интеграла, когда его верхний, нижний предел устремляется к бесконечности

lim f(x) dx = J f(x) dx ( 7 )

b

Интеграл наз. сходящимся несобственным , если предел существует и расходящимся, если такой предел не существует

Пр. dx / x ln x = lim d(ln x)/ ln x = lim (ln ln b – ln ln 5) =

b b

т.е. несобственный интеграл расходится. Если обозначить lim F(b) = F(+ ) , то перейдем к обобщенной формуле Ньютона – Лейбница

f(x) dx = F(+ ) - F(a) , F’(x) = f(x) ( 8 )

Пр. dx / x ln x = d(ln x)/ ln x = ln in x |₅ = ln ln – ln ln 5 =

Опр. Несобственным интегралом 11 рода (от разрывных функций ) наз. предел определенного интеграла, когда его верхний, нижний предел устремляются к точке разрыва II рода

lim f(x) dx = J f(x) dx, где lim f(x) = ( 9 )

x b

Интеграл наз. сходящимся несобственным , если предел существует и расходящимся, если такой предел не существует

Пр. Функция f(x) = 1/ при 0 х < 1 ограничена и непрерывна, следовательно, интегрируема

lim 1/ dx = lim arcsin (1 - ) = /2

т.е. несобственный интеграл сходится. Если обозначить lim F(b - ) = F(b) при и для точки разрыва b функции f(x) (F’(x) = f(x) ), то вычисление несобственного интеграла II рода проводится по обычной формуле Ньютона – Лейбница

1/ dx = arcsin х |₀¹ = /2

Если функция f(x) на [a, b] имеет несколько точек разрыва, то в интеграле f(x) dx = F(b) - F(a) необходимо проверить значение F(x) для всех особых точек. Только полная непрерывность F(x) обеспечивает сходимость несобственного интеграла II рода .

Пр. Интеграл 2x dx/ (x² – 1) = ln |x² – 1| |_-2² не существует, т.к. первообразная обращается в в особых точках x = 1

Вычисление площади плоской фигуры.

О пределенный интеграл f(x) dx , при условии f(x) > 0, определяет площадь криволинейной трапеции расположенной выше оси Ох . Если f(x) < 0 , то значение интеграла будет отрицательно, т.к. имеем предел суммы отрицательных слагаемых. Если f(x) пересекает ось Ох , то трапеция делится на верхние и нижние участки и интеграл равен разности их площадей. Задачу вычисления полной площади криволинейной трапеции прилежащей к оси Ох определяют формулы

1. f(x) > 0 S_D = f(x) dx

2. f(x) < 0 S_D = - f(x) dx ( 10 )

3. f(x) >< 0 S_D = f(x) dx - f(x) dx

4. f(x) > g(x) S_D = f(x) dx - g(x) dx

Пр. Вычислить площадь, ограниченную линиями y = sin x , y = 0 , x = - /2, x = .

S_D = - sin x dx + sin x dx = cos x|⁰_-./2 + cos x|₀^ = 3

Если криволинейная трапеция задана в параметрической форме: x = x(t) , y = y(t),

t , x( ) = a , x( ) = b (a < b) , y = 0 , то переход к новым переменным дает

S_D = y(t) x’_t dt ( 11 )

Пр. Вычислить площадь эллипса : x = a cos t , y = b sin t , 0 t 2

S_D = 4ab sin²t dt = ab

В том случае, если криволинейная трапеция прилежит к оси Оу ( x = x(y), c  y  d ), то ее площадь определяется интегралом

S = x(y) dy ( 12 )

П лощадь криволинейного сектора в полярных координатах.

Площадь кругового сектора радиуса R с углом равна

= = . Если r = r( ), , то сектор становиться криволинейным и его площадь вычисляется методом интегральной суммы.1) Разбиение угла  - точками _i = + i, где i =1,2,…n , с шагом = ( )/n ; 2) i – ый сектор заменяем на круговой сектор радиуса r( _i). Его площадь r²( _i)/2 ; 3) интегральная сумма S_n = r²( _i)/2 переходит в интеграл S_D = ½ [r( )]²d ( 13 )

Вычисление длины дуги.

И меем кривую y = f(x) на [a, b]. Определим ее длину методом интегральной суммы.

1) Разобьем [a, b] на n равных по длине отрезков точками x_i = a + i (b – a)/n , где i = 0,1,2, …,n . Из точек x_i восстановим перпендикуляры до пересечения с кривой y = f(x) и соединим отрезками l_i соседние точки пересечения. В результате получим вспомогательную ломанную линию вдоль кривой; 2) Отрезок l_i есть гипотенуза треугольника с катетами x_i =(b-a)/n _, y_i = y_i – y_i-1 и его длина равна

l_i = = ; 3) Длина всей ломанной линии есть интегральная сумма L_n = ; 4) Переход к пределу n приводит к появлению производной lim = f `(x) и дает точную длину дуги в виде определенного интеграла

L = lim = ( 14 )

Пр. Вычислить длину линии y = 2x + 1 на промежутке [1, 3].

Решение: y’ = 2, = , L = = x|₁³ = 2

Если x = x(t), y = y(t), t₁ < t < t₂ , то l_i = и

L = ( 15 )

Если функция задана в полярных координатах : r = r() – полярное уравнение,

  [,], тогда x  d(x) = d(r() cos ) = [r’cos  - rsin ] d, y  d(y) = d(r() sin ) = [r’sin  + r cos ] d , (x)² + (y)² = [r²() + (r`())²] (d)² и

L = ( 16 )

Вычисление площади боковой поверхности и объема тела вращения.

К риволинейную трапецию, ограниченную неотрицательной функцией y = f(x) на [a, b] вращаем вокруг оси Ох и получаем цилиндрическое тело вращения. Определим площадь его боковой поверхности и объем методом интегральной суммы.

1) Вращение криволинейной трапеции предыдущего рисунка приведет к вспомогательной фигуре - последовательности усеченных конусов с радиусами оснований f(x_i) и наклонными длинной l_i . 2) Боковая поверхность и объем каждого такого конуса (цилиндра) равны

S_i = 2 l_i ( f(x_i) + f(x_i-1) ) / 2 ; V_i = f(x_i)² x_i

3) Просуммируем S_i , V_i и получим две интегральные суммы

S(n) = 2 l_i f(x_i); V(n) = f(x_i)² x_i