Булевы функции
Рассмотрим
булеву алгебру 
,
где множество 
есть
множество 
-мерных
двоичных векторов.
Булевой функцией f(x1, x2,
…, xn) от n аргументов
называют функциональное соответствие
на множестве 
.
Другими словами, булева функция от n аргументов – это функция, которая на каждом n-мерном двоичном векторе (x1, x2, …, xn) принимает определенное значение: либо 0, либо 1.
Задать булеву функцию f(x1, x2,
…, xn) – значит указать ее значения
на каждом двоичном векторе (x1, x2,
…, xn). Поскольку число таких векторов
равно 
,
любую функцию f(x1, x2, …, xn) можно
задать с помощью таблицы, содержащей
строк
и (n+1) столбцов. В первых n столбцах
записывают все наборы значений аргументов,
в (n+1) – соответствующие значения функции.
Строки, для которых 
принимает
значение 1, называют единичными
наборами,
остальные строки таблицы – нулевыми
наборами.
Ниже приведена таблица всех булевых функций от 2 аргументов.
Таблица 1.
Булевы функции двух аргументов
x1 |
x2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Перечислим названия функций, которые используются в дальнейшем. Кроме операций дизъюнкции , конъюнкции и отрицания и ,таблица1 содержит следующие функции:
1) 
–
стрелка Пирса;
2) 
–
сложение по модулю 2 или кольцевая сумма;
3) 
–
штрих Шеффера;
4) 
↔ 
–
эквиваленция;
5) 
–
импликация.
Обратим внимание на порядок расположения наборов значений независимых переменных x 1 и x2 в таблице: они образуют последовательности целых чисел, начиная с 0, записанных в двоичной системе счисления. Такой порядок записи называют лексикографическим порядком.
В
лексикографическом порядке записаны
и значения функций. Поскольку значения
каждой функции представляют собой
четырехмерный двоичный вектор, а число
таких векторов 
,
то и различных булевых функций от двух
аргументов тоже 16.
Помимо табличного задания булеву функцию можно записать в виде выражения, содержащего обозначения аргументов и знаки указанных в табл. 4.2 операций. Такую запись называют формулой булевой функции.
Обратим
внимание на то, что табл. 1 содержит две
функции константы: f1(x1, x2) = 0
и f2(x1, x2) = 1. Изменения аргументов x1, x2 не
влияют на значения этих функций. В таких
случаях говорят, что x1, x2 – фиктивные
аргументы функций f1(x1, x2) и f2(x1, x2)
. Функции f3(x1, x2) =
и f4(x1, x2)
= x1 содержат одну фиктивную
переменную – x2, функции f5(x1, x2)
= 
и f6(x1, x2)
= x2 – фиктивную переменную x1.
Пример 1.
Запишем
таблицу булевой функции, заданной
формулой: 
.
Чтобы сократить число скобок и облегчить записи, договоримся о порядке выполнения операций:
1)
конъюнкция выполняется раньше дизъюнкции,
знак "
"
можно опускать.
2) Если над скобкой стоит знак отрицания, то скобки тоже можно опускать.
С
учетом этих правил формулу
перепишем
так: 
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Все
три аргумента функции
фиктивны,
данная функция есть константа 0, ее
значения не зависят от значений
переменных 
,
и 
.