Вопрос22 Различные виды уравнений прямой в пространстве (параметрические, канонические, через 2 точки, общие) Направляющий вектор прямой, заданной общими уравнениями.

  Уравнения прямой по двум точкам

  Векторно-параметрическое уравнение прямой

где - фиксированная точка, лежащая на прямой; - направляющий вектор.

Канонические уравнения прямой

Вопрос 23 Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение 2х прямых в пространстве.

Ответ:    Взаимное расположение прямой и плоскости

     Плоскость и прямая

     1) пересекаются

     2) прямая лежит в плоскости

     3) параллельны

     Если то случаи 1 - 3 имеют место, когда:

     1)

     2)

     3)

 Расстояние от точки до плоскости

 Взаимное расположение двух прямых

     Если прямые заданы уравнениями и то они:

     1) параллельны (но не совпадают)

     2) совпадают

     3) пересекаются

     4) скрещиваются

     Если то случаи 1 - 4 имеют место, когда ( - знак отрицания условия):

     1)    

     2)    

     3)    

     4)    

Вопрос 24 поверхности второго порядка (эллипсоид, цилиндры, конус) и их канонически уравнения. Исследование формы поверхности методом параллельных сечений.

 Эллипсоид (рис. 4.18)

     Каноническое уравнение:

      - трехосный эллипсоид;

      - эллипсоид вращения вокруг оси Oz;

      - эллипсоид вращения вокруг оси Oy;

      - эллипсоид вращения вокруг оси Ox;

      - сфера.

     Сечения эллипсоида плоскостями - либо эллипс (окружность), либо точка, либо .

     Конус второй степени (рис. 4.19)

     Каноническое уравнение:

     a = b - конус вращения (прямой круговой).

     Сечения конуса плоскостями: в плоскости, пересекающей все прямолинейные образующие, - эллипс; в плоскости, параллельной одной прямолинейной образующей, - парабола; в плоскости, параллельной двум прямолинейным образующим, - гипербола; в плоскости, проходящей через вершину конуса, - пара пересекающихся прямых или точка (вершина).

 Эллиптический цилиндр (рис. 4.24)

     Каноническое уравнение:

при a = b - круговой цилиндр.

 Гиперболический цилиндр (рис. 4.25)

     Каноническое уравнение:

     Параболический цилиндр (рис. 4.26)

     Каноническое уравнение:

Вопрос25 поверхности второго порядка (гиперболоиды, параболоиды) и их канонические уравнения.

Однополостный гиперболоид (рис. 4.20)

     Каноническое уравнение:

     a = b - однополостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz.

     Горловой эллипс:   

     Асимптотический конус:   

     Сечения однополостного гиперболоида плоскостями - либо эллипс, либо парабола, либо гипербола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).

Двуполостный гиперболоид (рис. 4.21)

     Каноническое уравнение:

     a = b - двуполостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz.

     Асимптотический конус:

     Сечения двуполостного гиперболоида плоскостями: либо эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо точка, либо .

     Эллиптический параболоид (рис. 4.22)

     Каноническое уравнение:

     p = q - параболоид вращения вокруг оси Oz.

     Сечения эллиптического параболоида плоскостями - либо эллипс, либо парабола, либо точка, либо .

 Гиперболический параболоид (рис. 4.23)

     Каноническое уравнение:

     Сечения гиперболического параболоида плоскостями - либо гипербола, либо парабола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).