2.7.4. Задачи на отображения

Пояснение. Неподвижной точкой при отображении называют элемент множества, для которого образ элемента равен самому элементу.

1. Сколько существует отображений множества А={a, b, c, d} в себя, имеющих неподвижные точки?

2. Пусть N – множество всех вещественных функций, заданных на всей вещественной оси;  - отображение N в себя, ставящее в соответствие каждой функции f(x) из N функцию f(x)=(x² -1)f(x). Будет ли  взаимно однозначным? Является ли оно отображением N на себя?

3. Каждому треугольнику Т, длины сторон которого равны а ,в и с, сопоставим треугольник со сторонами (а+в)/2, (а+с)/2, (в+с)/2. Будет ли это отображение множества всех треугольников в себя взаимнооднозначным? Будет ли оно отображением на себя? Какие треугольники будут неподвижными точками этого отображения?

2.7.5. Транзитивное замыкание отображений

1. Пусть R={(a,b) | a=b+1, a,bN}. Как выглядят R² ,R³,R ^* ?

2. Пусть  и  являются бинарными отношениями в множестве А. Обозначим как умножение  транзитивное продолжение отношения  на .

3. Всегда ли из рефлексивности обоих отношений следует рефлексивность ?

4. Всегда ли из транзитивности обоих отношений следует транзитивность ?

5. Всегда ли из симметричности обоих отношений следует симметричность ?

6. Всегда ли из антисимметричности обоих отношений следует антисимметричность ?