2.4. Отношение порядка

Говорят, что отношение  отвечает свойству дихотомии, если из того, что (a_i ,a_j ), следует, что (a_j ,a_i ). Значит, если выполняется свойство дихотомии, то в множестве любые два элемента находятся в данном отношении. Примером дихотомии может служить отношение «быть по возрасту не старше» между людьми. Здесь, если Иван старше Петра, то, значит, Петр не старше Ивана.

Отношение  называют отношением порядка, если оно антисимметрично и транзитивно. Если при этом отношение рефлексивно, то оно называется отношением нестрогого порядка, если антирефлексивно – отношением строгого порядка.

Отношение нестрогого порядка между элементами a_i и a_j обозначается a_i  a_j , отношение строгого порядка – a_i < a_j .

Приведенное выше отношение «быть не старше» является отношением нестрогого порядка, так как оно рефлексивное, антисимметричное и транзитивное. Примером отношения строгого порядка будет определенное на множестве людей отношение «быть старше», так как любой человек не может быть старше себя.

И наконец, если ввести в отношение необходимость дихотомии, то получим соответственно отношение полного нестрогого или полного строгого порядка.

Если в отношении условия дихотомии не выполняются, то отношение называется отношением частичного порядка.

Если на множестве людей определить отношение «быть начальником по службе» и считать, что начальник моего начальника является моим начальником (выполняется транзитивность), то это есть частичный порядок, ибо люди, работающие в разных организациях, в этом отношении не находятся. Строгий это порядок или нет, определится тем, считаем ли мы себя начальниками по службе для самих себя или нет.

Элемент a_i непосредственно следует за a_j, если a_i <a_j и не найдется такого a_k , что a_i<a_k<a_j. Значит, для любых элементов a_i и a_j ,таких, что a_i <a_j, найдется цепочка элементов между a_i и a_j , в которой любой элемент непосредственно следует за предыдущим. Все такие цепочки определяют схему транзитивного отношения.

Для полного множества, когда любая пара элементов находится в отношении, цепочка будет единственной. Если множество А конечно, то при полном порядке всегда найдется единственный элемент а_max такой, что аА а_max>a. Этот элемент называют максимальным.

Аналогично для конечного множества в этом случае найдется минимальный элемент, меньший любого элемента из А.

Для частичного порядка в конечном множестве минимального и максимального элементов может и не быть. Назовём наибольшим элементом такой элемент, для которого не найдется в А элемента, большего его. Точно так же определим как наименьший такой элемент, для которого в А нет меньших его. Наибольших элементов (как и наименьших) может быть несколько, они образуют верхнюю (нижнюю) грань множества по данному отношению.

Рассмотрим схему отношения на примере.

Пусть на множестве А={1,2,3,4,5,6} задано отношение {(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5)(2,6),(3,4), (3,5),(3,6), (4,5), (4,6)}. Тогда цепочками схемы будут (1,3,4,5), (1,3,4,6), (2,3,4,5), (2,3,4,6), что определяет схему, которую удобно представить в виде рис.2.1.

В этом примере элементы 1 и 2 – наибольшие, элементы 5 и 6 – наименьшие. Они образуют соответственно верхнюю и нижнюю грани множества по отношению.

Отношения, в которых есть антисимметрия, но нет транзитивности, называют предпорядком или отношением доминирования. Примером такого отношения может служить заданное на множестве футбольных команд отношение «победа в игре». Действительно, из того, что УРАЛМАШ победил РОТОР, а РОТОР победил ДИНАМО, не следует, что УРАЛМАШ победит ДИНАМО, т.е. свойство транзитивности здесь не выполняется.

Рис.2.1