Лекция 5-6. Отображения и отношения

Пусть задано два множества A и В. Выделим некоторое подмножество  декартова произведения АхВ и будем трактовать его элементы (a_i,b_j) как выражение того факта, что a_i и b_j находятся в некотором соответствии. Нас не интересует характер этого соответствия, а только сам факт его наличия. Множество  назовем отображением множества А на множество В.

Если (a_i ,b_j )  , то a_i называется прообразом b_j , а b_j - образом a_i при отображении . Множество А^~ всех прообразов в А есть область определения отображения , а множество B^~ всех образов в В - область значений . Если В^~ равно В, то говорят об отображении на В, если В^~ - только часть В, то об отображении в B.

Отображение будем обозначать как АВ или (a) =b. Если для каждого a_i образ b_j единственен, то отображение называют функциональным. Если в  все пары (a_i ,b_j ) переписать «наоборот», как (b_j ,a_i ), получим отображение В в А, которое является обратным к  и обозначается  ^-1.

Пусть множества А и В совпадают,   АхА. В этом случае  называют бинарным отношением, а множество А – базовым множеством отношения R.

Если (a_i ,a_j )  , то говорят, что элемент a_i находится в отношении с элементом a_j . В общем случае можно определить, что в отношении находится не пара, а k элементов, считать, что   А^k . Величина k определяет арность отношения . Говорят, что   А^k - k-арное отношение.

Термин «отношение» используют также, если арность >2 и множества в декартовом произведении различны.

Будем рассматривать в дальнейшем бинарные отношения на множестве А.

2.1. Способы описания бинарного отношения

Бинарное отношение  как любое подмножество может быть представлено в виде перечисления, через указания свойства или через порождающую процедуру. Но наиболее часто используется представление матрицей, в котором учитывается специфика множества. Столбцам и строкам матрицы сопоставлены элементы базового множества A, значение элемента матрицы (a_i ,a_j ) равно 1, если (a_i ,a_j ) , в противном случае значение соответствующего элемента равно 0.

2.2. Виды бинарных отношений

Бинарное отношение называется рефлексивным, если (a_i)A (a_i ,a_i ) . Если отношение рефлексивное, то в каждой клетке главной диагонали стоят единицы.

Бинарное отношение антирефлексивно, если (a_i ) A (a_i ,a_i ) . В антирефлексивном отношении главная диагональ не содержит ни одной единицы.

Бинарное отношение называется симметричным, если из того, что (a_i,a_j) , следует (a_j ,a_i ) . Для симметричного отношения таблица симметрична относительно главной диагонали.

Бинарное отношение антисимметрично, если из того, что (a_i,a_j), следует, что(a_j ,a_i ) .

Бинарное отношение называется транзитивным, если из того, что (a_i ,a_j )  и (a_j ,a_k ) , следует (a_i ,a_k ).

2.3. Эквивалентность

Бинарное отношение называется отношением эквивалентности, если оно одновременно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Два элемента связаны отношением эквивалентности, если они имеют одинаковое свойство из множества альтернативных свойств. Примерами таких отношений являются принадлежность студентов к одной учебной студенческой группе, отношение родства или отношение «иметь одинаковый цвет волос». Альтернативность предполагает, что случаи, когда один студент принадлежит к нескольким группам или один человек имеет разноцветные волосы, из рассмотрения исключаются (иначе не выполнялась бы транзитивность). Тогда множество разбивается на непересекающиеся подмножества элементов, удовлетворяющие свойству, которые при объединении покрывают все множество. Последнее обеспечивается свойством рефлексивности, когда для каждого элемента находится элемент, с которым он состоит в отношении (по крайней мере, с самим собой). Эти подмножества называются классами эквивалентности.

Справедливо утверждение: любому отношению эквивалентности однозначно сопоставляется разбиение множества и, обратно, любому разбиению множества однозначно сопоставляется отношение эквивалентности.