7.Бесконечно малые величины, их св-ва, их связь с бесконечно малыми.

Функция α(x) называется бесконечно малой величиной при х→х_о или х→∞, если ее предел =0.

Св-ва: 1-произведение ББВ на ф-ию, предел который отличен от нуля, есть величина ББ. 2-сумма ББВ и ограниченной ф-ии, есть величина ББ. 3-частное отделение ББВ на ф-ию имеющий предел в точке х_о, есть величина ББ.

Если α(х) – бесконечно малая величина, при х→х0, х→∞ то f(x)=1/α(х) - есть величина ББ, и наоборот.

8.Бесконечно малые величины, их св-ва, эквивалентные величины.

функция α(х) называется бесконечно малой величиной при х→х0 или х→∞. если её предел = 0.

Св-ва: 1-алгебраическая сумма конечного числа БМВ, есть величина БМ. 2-произведение БМ на ограниченную ф-ию в том числе и на БМ, есть величина БМ. 3-частное отделение БМ на ф-ию, предел которой отличен от нуля, есть величина БМ

Бесконечно малые величины α(х) и β(х) назыв. эквиваленты, при х→α, если предел их отношений равен единице. (lim α/β=1, при х→α)

9.Основные теоремы о пределах.

1)Функция не может иметь более одного предела.

2)Предел алгебраической суммы конечного числа ф-ции= сумме пределов этих ф-ций

3)Произведение пределов = пределу произведения.

4) предел частного 2-х ф-ций=частному пределов этих функций

5) постоянный множитель можно выносить за знак предела

10. Первый замечательный предел.

1-ый замечательный предел назыв. предел отношение, где х→0, sinx/x=1 или x/sin=1. Его значение в любом виде =1

11. Второй замечательный предел. Задача о непрерывном начислении процентов.

lim (y→∞)(1+1/n)^n=e lim(y→0)(1+y)^1/y=e

Задача: первоначальный вклад в банк составил Q_o-денежных единиц. Банк выплачивае ежегодно Р% годовых. Необходимо найти размер вклада Qt через t лет.

(1+P/100); Q₁=Qo(1+P/100), Q₂=Qo(1+P/100)^2; Qt=Qo(1+P/100)^t, Qnt=Qo(1+P/100)^nt

12. Непрерывность функции. Точки разрыва первого и второго рода.

Функция f(x) назыв. непрерывной в точке х_о, если она удовлетворяет 3 условиям:

1-определяется в точке х_о,т.е. сущест. f(x_o) 2-имеет конечный предел ф-ии при х→х_о 3-этот предел=значению ф-ии в точке( lim f(x)=f(x_o), при х→х_о)

Опр2:Функция y=f(x) назыв. непрерывной в точке х₀, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращению ф-ии. Точка х_о назыв. точкой разрыва ф-ии f(x), если эта ф-ия в данной точке не явл. непрерывной. Различают точки разрыва: Первого рода-когда существ. конечные односторонние пределы ф-ии слева и справа, не равные друг другу. К точкам разрыва 1-ого рода относятся так же точки устранимого разрыва, когда предел ф-ии существ. в точке, но не равен значению ф-ии в этой точке. Второго рода- когда хотя бы один из односторонних приделов слева или справа бесконечен или не существ.

13. Свойства функции непрерывных в точке.

1) если ф-ия f(x) и φ(x) непрерывны в точке х_о, то их сумма, произведение, частное явл. функциями непрерывными в точке х₀. 2) если ф-ия y=f(x) непрерывна в точке х_о и f(x)>0, то существ.такая окрестность в точке х_о в которой f(x)>0

3) если ф-ия у=f(u) непрерывна в точке u₀, а ф-ия u=f(x) непрерывна в точке u₀=φ(x₀), то сложная ф-ия y=f(φ(x₀)) непрерывна в точке х₀.

Функция y=f(x) назыв. непрерывной на промежутке Х, то она непрерывна в каждой тоске этого промежутка, можно доказать, что все элементарные ф-ии непрерывны в области их определения.