1.Понятие функции, её св-ва, основные ф-ии.

Если каждому элементу из множества х € Х поставить в соответствие у € У, то говорят, что на множестве Х задана функция y=f(x).

x-независимая переменная или аргумент ;y-зависимая переменная или ф-ция;X-область определ.;Y-обл. значения

Способы задания функции: Свойства:

1)Аналитический (формулы) 1) Четность/нечетность

2)Табличный (cos, sin) 2) Монотонность

3)Графический 3) Ограниченность

4)Словесный ДИРИХЛЕ 4)Периодичность

Основные элементарные ф-ции.

1). y=xⁿ 2)y=x^-n 3) y=a^x 4) y=log_ax 5) y=sinx 6) y=cosx 7) y=tg 8) y=ctgx

2.Классификация функций:1)Сложная.2)Элементарная.3)Явная.4)Обратная.

1)Пусть ф-ия y=f(u) есть ф-ии от переменной u, определенная на множестве U с областью значений Y, а переменная u явл. ф-ей u=φ(x) определенная на множестве X с областью значений U. Тогда заданная на множестве X ф-ия y=f(φ(x)) назыв. сложной ф-ей.:y=lg(sinx)

2).Ф-ции, построеная из основных элементарных с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций наз. Элементарными.

3)Ф-ия назыв. явной, если она задана формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной:y=x²+8x-1

4)Пусть y=f(x)есть ф-ия от независимой переменной х на промежутке Х с областью значений Y, поставили в соответствие каждому углу Y единст. х их Х, при котором f(x)=y, тогда полученная ф-ия x=φ(y). Определенная на промежутке Y с областью значений назыв.обратной. можно доказать, что для любой строго монотонной ф-ии существ. обратная.

5) Ф-ция аргумента х наз. Неявной если задана ур-ием F(х.у)=0 неразделенным относит.зависимой переменной.

3.Предел числовой последовательности, геометрический смысл.

Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствии вполне определенное число an то говорят что задана последовательность {an}.Числовая последовательность это ф-ия натурального аргумента. An=f (n).Аn - общий или n-член последовательности.Число А называется пределом числовой последовательности Аn если для любого сколько угодно малого положительного числа Е>0 найдется такой N зависящий от Е, что от всех членов последовательности с N<n ,верно неравенство |Аn-А|<Е, lim an-A n→∞

4.Пределы функции бесконечности. Геометрический смысл.

Число А называется пределом функции при х→ ∞_, если для любого сколь угодно малого положительного числа Е>0 найдется такое положительное число S , что для всех х>S, верно неравенство !f(x)-A!<E

5.Пределы функции в точке. Геометрический смысл.

Число А называется пределом функции f(x) х→х₀, если для любого сколько угодно малого положительного числа Е найдется такое положит.число δ>0 ,что для всех х неравных х₀ удовлетворяет условие !х-х₀!<δ выполняется неравенство !f(x)-A!<E. Определение предела не требует существование функции в самой точке х₀, т.к. мы рассматриваем значение х=х₀ в некоторой окрестности х₀ следовательно рассмотрев предел мы предпологаем_, что х стремиться к х₀ но не достигает его.

6.Предел ф-ии в точке. Левосторонние и правосторонние пределы в функции.

Число А называется пределом функции f(x) х→х₀, если для любого сколько угодно малого положительного числа Е найдется такое положит.число δ>0 ,что для всех х неравных х₀ удовлетворяет условие !х-х₀!<δ выполняется неравенство !f(x)-A!<E.

lim f(x)→A, где х→α. Если при стремлении к х_{о ,}переменная х принимает значение, только меньшего значения х_о или только большего значения х_о, при этом ф-ия f(x) стремится к А, то говорят об одностороннем пределе ф-ии lim f(x), где х стремится к х_о-0 – левостор; lim f(x), где х стремится к х_о+0 –правост