20. Опуклість, угнутість функції, точки перегину (необхідна та достатні умови).

Означення. Крива (або функція ) називається опуклою (опуклою догори) в точці x=c, якщо для всіх із деякого окола точки ордината кривої менша відповідної ординати дотичної, проведеної до графіка функції в точці з абсцисою x=c.

Означення. Крива (або функція ) називається угнутою (опуклою донизу) в точці x=c, якщо для всіх із деякого окола точки ордината кривої більша відповідної ординати дотичної, проведеної до графіка функції в точці з абсцисою x=c.

Ці означення можна переформулювати: функція називається опуклою (угнутою) в точці x=c, якщо для всіх із деякого окола точки різниця Укр-Удот<0 ( Укр-Удот>0 ).

Означення. Точка x=c називається точкою перегину функції , якщо при переході аргумента x через дану точку різниця Укр-Удот змінює знак.

Теорема (необхідна умова перегину). Якщо x=c - точка перегину двічі диференційовної функції , то ця точка є критичною (другого порядку) для другої похідної, тобто, або не існує.

Теорема (достатня умова перегину). Якщо при переході аргумента x через критичну точку x=c другого порядку друга похідна змінює знак, то x=c - точка перегину функції .

Дослідження функції на опуклість, угнутість, точки перегину проводиться за схемою, аналогічною схемі дослідження функції на монотонність та екстремуми. Продемонструємо це на прикладі.