14. Теореми порівняння.

Теорема 1. Якщо послідовність - збіжна, причому , тоді і .

Теорема 2. Якщо послідовності та - збіжні, причому , тоді .

Теорема 3 (Гур’єва). Якщо послідовності та - збіжні, причому , , і для усіх членів послідовності виконується умова . Тоді .

Дано: = a>b

Довести: ,

Доведення:Розглянемо послідовність { }={ - }.Знайдемо границю послідовності { }. = ( - )= - =а-b>0.

За Т2 з останньої нерівності випливає, що існує такий номер N, починаючи з якого виконується нерівність >0 чи > .

Т5.Якщо послідовності { }і{ } мають границі = і ,і,починаючи з деякого номеру N,виконується нерівність >= ,( ), то >=

Т6.(Гур’єва) .Якщо послідовності { }і{ } мають одну й ту саму границю, рівну а,і,починаючи з деякого номера ,виконується нерівність <= <= ,( ),то = а.

Теорема (Вейерштрасса). Будь-яка монотонна обмежена послідовність має границю (є збіжною).

Базуючись на теоремі Вейерштрасса доводиться існування чудової границі:

(число Ейлера).

15. Означення похідної функції, її економічний смисл.

Похідною функції за аргументом х в точці х0 називається границя відношення приросту функції до віповідного приросту аргументу, коли останній прямує до нуля (якщо розглянута границя існує).

Позначається: .

Економічний зміст похідної:

Якщо функція визначає залежність витрат виробництва від об’єму х виробленої продукції, то похідна дорівнює граничним витратам виробництва (приблизно рівним витратам на випуск -ої одиниці продукції).

16. Теореми про похідну складної та оберненої функцій.

Теорема (похідна складеної функції). Нехай складена функція визначена на множині х. Якщо функція диференційовна в точці х0, а зовнішня функція диференційовна в точці , то складена функція диференційовна в точці і її похідна знаходиться за формулою:

,

тобто похідна складеної функції дорівнює добутку похідної зовнішньої функції на похідну її аргументу (внутрішньої функції).

Доведення. За означенням . Поділимо і домножимо на приріст , який прямує до нуля при (це випливає із диференційовності, а значить, і неперервності функції ). Дістанемо:

. Теорему доведено.

Теорема (про похідну оберненої функції). Якщо функція диференційовна в точці і , то обернена функція :

1. існує в деякому околі точки ;

2. диференційовна в точці ,причому , тобто похідна оберненої функції дорівнює оберненій величині похідної даної функції.

17. Сформулювати арифметичні теореми для диференційовних функцій. Довести одну із них.

Теорема 1. Пусть функции u(x) и v(x) дифференцируемы в точке х0, тогда ф-ции U(X) +- V(X), U(X) * V(X) U(X) / V(X) (V(X) не равно 0) также дифференцируемы в точке Х0, причём их производные вычисляются по формулам:

Тоді їх алгебраїчна сума також диференційовна в точці , причому .

Доведення. За означенням:

, оскільки , диференційовні в точці х0. Теорему доведено.

.

Доведення. За означенням:

.

В чисельнику віднімемо і додамо добуток , перегрупуємо доданки та винесемо спільні множники:

, оскільки , диференційовні в точці x0 (а значить – неперервні, тому ). Теорему доведено.

Наслідок. Сталий множник виноситься за знак похідної, тобто:

.