17. Таблиця похідних основних елементарних функцій. Довести (на вибір) три із них.
Таблиця похідних основних елементарних функцій
1.
Похідна сталої дорівнює нулю:
.
2. Похідна
степеневої функції:
,
зокрема
.
3. Похідна
показникової функції:
,
зокрема
.
4. Похідна
логарифмічної функції:
,
зокрема
.
Похідні тригонометричних функцій.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
Похідні обернених тригонометричних функцій.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
1. Розглянемо
похідну сталої функції
.
За означенням:
.
2.
Розглянемо
похідну функції
.
За означенням:
.
При
:
із чудової границі випливає, що функція
- НМ, еквівалентна аргументу
,
а
.
Тому:
.
3.
Розглянемо
похідну функції
.
За арифметичними теоремами та враховуючи
похідні функцій
,
дістанемо:
Розглянемо похідну
функції
,
яка є оберненою для функції
.
За теоремою про похідну оберненої
функції, враховуючи, що
,
маємо:
.
18. Означення монотонних функцій. Довести теорему - критерій монотонності функції.
Однією із характерних особливостей поведінки функції є її монотонність: зростання, неспадання, спадання, незростання. Розглянемо застосування методів диференціального числення для дослідження монотонності.
Теорема (критерій
монотонності). Для
того, щоб диференційовна на інтервалі
функція
була неспадною (незростаючою) на цьому
інтервалі, необхідно і достатньо, щоб
її похідна
була невід’ємною (недодатною) на
.
Доведення.
Необхідність. Проведемо
для неспадної функції. Виберемо довільні
так, щоб точки
.
Оскільки функція неспадна, то
,
тому
,
а
.
Якщо ж довільні
такі, що точки
,
то із неспадання функції випливає
,
тому
,
а
.
Для диференційовної функції існує
границя
за однією із теорем порівняння.
Необхідність доведено.
19. Теореми (необхідна умова екстремуму, перша достатня умова екстремуму функції).
Теорема (необхідна умова екстремума). Якщо функція має в точці x=c екстремум, то ця точка є критичною.
Наслідок. Якщо точка x=c не є критичною, то функція в цій точці екстремума не має.
Висновок. Точки екстремума слід шукати лише серед критичних точок.
Але не будь-яка
критична точка буде точкою екстремума
(див. вище приклад функції
).
Тому необхідні достатні умови.
Теорема (перша достатня умова екстремума). Якщо при переході аргументу через критичну точку похідна змінює знак, то ця критична точка є точкою екстремума. При цьому, якщо похідна змінює знак з плюса на мінус (з мінуса на плюс), то критична точка є точкою максимума (мінімума).
Теорема 2 (перша достатня умова локального екстремуму). Нехай x
0 —
критична точка функції f x , яка в цій точці неперервна, і нехай існує окіл
x x
0 0
; точки x
0
, в якому функція має похідну f x крім, можливо, точки x
0
,
тоді:
1) якщо в інтервалі x x
0 0
; похідна f x 0, а в інтервалі x x
0 0
; похідна
f x 0, то x
0
є точкою функції f x ;
2) якщо в інтервалі x x
0 0
; похідна f x 0, а в інтервалі x x
0 0
; похідна
f x 0, то x
0
є точкою функції f x ;
3) якщо в обох інтервалах x x
0 0
; і x x
0 0
; похідна f x має той самий
знак, то x
0
не є екстремальною точкою функції f x .
Теорему 2 можна сформулювати інакше:
– якщо при переході зліва направо через критичну точку x
0
знак похідної
f x змінюється з плюса на мінус, то x
0 — точка локального максимуму;
– якщо знак похідної f x змінюється з мінуса на плюс, то x
0 — точка
локального мінімуму;
– якщо похідна не змінює знак, то в точці x
0
екстремум відсутній.
З теорем 1 і 2 випливає таке правило дослідження функції на екстремум: щоб
знайти локальні екстремуми функції f x , необхідно:
1) знайти критичні точки функції f x . Для цього слід розв'язати рівняння
f x
0
0 і серед його розв'язків вибрати тільки ті дійсні корені, які є внутрішніми
точками області існування функції; знайти точки, в яких похідна f x не існує;
2) якщо критичних точок функція не має, то вона не має і екстремумів. Якщо
критичні точки є, то треба дослідити знак похідної в кожному з інтервалів, на які
розбивається область існування цими критичними точками. Для цього достатньо
визначити знак похідної в якій-небудь одній точці інтервалу, оскільки похідна може
змінити знак лише при переході через критичну точку;3) за зміною знака f x при переході через критичні точки зліва направо
визначити точки максимумів та мінімумів і обчислити значення функції f x в цих
точках. Результати дослідження доцільно звести в таблицю