10. Дослідження рівняння II-го порядку з двома змінними (параболічний випадок).

- Ур-ние кривой параболического типа, причём при правых частях равных константе, данное Ур-ние является Ур-нием пары параллельных прямых (действительных или мнимых)

у² = 2рх – канонічне рівняння параболи. Вісь Ох – вісь симетрії параболи, яка називається віссю параболи. Вершина параболи: точка перетину параболи з її віссю. Парабола має одну вершину О (0;0). Зі збільшенням параметра параболи р збільшується відстань між вітками параболи. Ексцентреситет параболи – це відношення відстані будь-якої точки параболи від фокуса до відстані її від директриси. Е = 1.

11. Означення границі послідовності. Сформулювати властивості збіжних послідовностей (властивості границі). Довести одну із них.

Точка А називається границею послідовності , якщо поза будь-яким -окілом точки А міститься лише фіксована кількість членів послідовності.

Означення. Число А називається границею послідовності , якщо

.

Якщо послідовність має границю А, то її називають збіжною і позначають: або .

У супротивному випадку послідовність називають розбіжною.

Властивості границі: Т.1 Якщо послідовність має границю, то ця границя єдина. Доведення: Припустимо, що послідовність має 2 границі: x_n=a, x_n = b, a<>b. a<b; існує r: a<r<b так як lim x_n=a, то існує N1, що для всіх п>N1; х_п<r та існує N11, що для всіх п>N11, х_п>r. Прийшли до протиріччя х_п<r та х_п>r. Т2. Якщо послідовність має границю, то ця послідовність є обмеженою. Т.3. Якщо послідовність {а_п} має границю, що <>0 (lim а_п.=А<>0), то всі члени послідовності, починаючи з деякого номеру N мають знак границі А. Т.4. Границя сталої послідовності = цій сталій с = с.

12. Нескінченно малі (нм) та нескінченно великі (нв) послідовності, їх властивості.

Последовательность называется бесконечно малой (Б.М), если её граница равна нулю, т.е

Послідовність називається нескінченно великою (НВ), якщо для довільного (як завгодно великого) додатного числа всі члени послідовності, починаючи з деякого, по модулю більші цього числа, тобто

.

Звернемо увагу на те, що НВ не має границі ( - позначення НВ).

Т.1Якщо послідовність є нв і всі члени послідовності відмінні від нуля,то послідовність обернених величин є нм. Т.2Якщо послідовність є нм і всі члени послідовності відмінні від нуля,то послідовність обернених величин є нв.

13. Арифметичні теореми для збіжних послідовностей.

Т.1 Якщо послідовності і збіжні, при чому , то мають місце наступні властивості: 1. 2. 3. при Доведення: . За властивістю про зв'язок нм і послідовності,що мають границю,одержимо : ; ,де і -нм.; ; нм.; ; -нм. Для того,щоб послідовність мала границю необхідно і достатньо,щоб послідовність -нм.