7. Кут між двома прямими, умова паралельності та перпендикулярності прямих.

1) Угол между двумя прямыми

Означення. Кутом між двома прямими називається найменший додатний кут, на який потрібно повернути одну з прямих (проти обертання годинникової стрілки) до суміщення з іншою прямою. Очевидно, кут між двома прямими змінюються в межах 0≤ а ≤π . Дві прямі на координатній площині утворюють кути, один з яких дорівнюєа, а інший (180 ˚ -а). Оскільки за формулами зведення

cos (180˚-а)=-cosа, то для того, щоб знайти кут між двома прямими, потрібно знайти cos а.

Пусть 2 прямые заданы своими уравнениями

,

Тогда угол между ними откладываемый против часовой стрелки, вычисляется по формуле:

а =

Для того, щоб дві прямі на координатній площині були перпендикулярні, необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність:

1. А₁А₂ +В₁В₂=0

2. m₁m₂+n₁n₂=0

3. k₁=-

Для того, щоб дві прямі на координатній площині були паралельні, необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність:

1. =

2. =

3. k₁= k₂

2) условие параллельности и перпендикулярности прямых

8. Дослідження рівняння II-го порядку з двома змінними (еліптичний випадок).

_{(линейное)}

_{(второго порядка)}

_{С помощью поворота и переноса системы координат, Ур-ние можно привести к одному из следующих видов:}

А Є (-1; 0; 1) – уравнение кривой эллиптического типа, а именно при А=1 ур-ние эллипса, при А=0 – ура-ние вырожденного эллипса, при А= -1 ур-ние мнимого эллипса

- канонічне рівняння еліпса

Симетрія еліпса: Якщо точка М(x;y) належить еліпсу, то:

1.точка М1(х;-у), яка симетрична з точкою М(x;y) відносно осі Ох, також належить еліпсу, таким чином вісь Ох є віссю симетрії еліпса.

2.точка М2(-х;у) симетрична М(x;y) відносно Оу, також належить еліпсу. Отже, вісь Оу – вісь симетрії еліпса.

3.точка М3(-х;-у) симетрична М(x;y) відносно початку координат О, також належить еліпсу. Точка О – центр симетрії еліпса. Центр симетрії еліпса називають центром центром еліпса. Осі симетрії еліпса називають осями еліпса. Вершини еліпса. Точки перетин еліпса з його осями називають вершинами еліпса.

А1(а;0) і А2(-а;0) – вершини, що лежать на осі Ох.

В1(0;b) і В2(0;-b) – вершини на Оу

2а – велика вісь еліпса

2b – мала вісь еліпса

а – велика піввісь еліпса

b – мала піввісь еліпса

Ексцентриситет еліпса. Ексцентриситетом еліпса називають відношення фокусної відстані до довжини великої осі.

Фокуси. F1(-c;0), F2(c;0)

9. Дослідження рівняння II-го порядку з двома змінними(гіперболічний випадок).

, А Є (-1; 0; 1) – уравнение кривой гиперболического типа, а именно при А=1 ур-ние гиперболы, при А=0 – ур-ние пары пересекающихся прямых, при А=-1 – ур-ние сопряжённой гиперболы

- канонічне рівняння гіперболи

Симетрія гіперболи:

1.Вісь Ох – вісь симетрії гіперболи

2.Вісь Оу – вісь симетрії гіперболи

3.Точка О – точка симетрії гіперболи

Центр симетрії гіперболи називають центром гіперболи.

Осі симетрії гіперболи називають осями гіперболи.

Вершини гіперболи. Точки перетину гіперболи з її осями називають вершинами гіперболи.

А1(а;0) і А2(-а;0) – дійсні вершини гіперболи.

З віссю Оу гіпербола не перетинається, тому В1(0;b) і В2(0;-b) – уявні вершини гіперболи.

2а – дійсна вісь гіперболи

2b – уявна вісь

а – дійсна напіввісь

b – уявна напіввісь

Асимптоти гіперболи. Т: Асимптоти гіперболи, заданої канонічний рівнянням, є прямі і

Ексцентриситет гіперболи – це відношення фокусної відстані до дійсної осі.

Фокуси. F1(-c;0), F2(c;0)