4. Властивості лінійно-залежних векторних систем.

Векторы называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно ai , т.е. . Если же только при ai = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми.

Свойство 1. Если среди векторов есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.

Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.

Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.

Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.

Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.

5.Теорема (про розклад вектора за базисом векторної системи)

Теорема (розклад за базисом). Будь-який вектор векторної системи можна розкласти за її базисом, причому однозначно.

Доведення: Розглянемо систему векторів , ,…, ,… . Нехай , ,…, – базис системи. Візьмемо довільний вектор а системи. Можливі 2 випадки:

1. - вектор базису

= + +…+ +…+

2. - не входить до базису

= (1)

Припустимо, що існує ще один розклад аj за векторами базису ,тобто

= (2)

Віднімемо від рівності (1) рівність(2)

Оскільки , ,…, - Лінійно незалежні, то

6.Різновиди рівнянь прямої на координатній площині .

1)Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Y= kx+b

B – ордината точки пересечения прямой с осью оу

K – тангенс угла между прямой и положительным направлением оси ох, отложенного против часовой стрелки.

Замечание: Недостаток данного уравнения заключается в том, что оно не описывает прямые параллельные оси оу, поскольку tg 90 не существует. Данные прямые описываются ур-нием х=а

2) Уравнение прямой, проходящей через заданную точку М (х1, у1), в заданном направлении k ( у-у1= k(х-х1) )

3) Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки М1 (х1;у1); М2 (х2; у2)

Замечание: Если у2=у1, то данное уравнение определяет горизонтальную прямую у=у1; если х2=х1, то данное уравнение определяет вертикальную прямую х=х1

4) Общее уравнение прямой

Произвольное уравнение первой степени с двумя неизвестными , где задаёт на координатной плоскости прямую.

Т. Кожна пряма лінія на площині в декартових прямокутних координатах визначається рівнянням першого степеня з двома змінними х і у

Ах+Ву+С=0 ( А²+В²>0)

Доведення: Кожна пряма лінія на площині може бути задана за допомогою вектора N=(A;B),перпендикулярного до заданої прямої і точки М(х₀;у₀) через яку проходить пряма. Рівняння такої прямої має вигляд А(х-х₀)+В(у-у₀)=0

Якщо в цьому рівнянні розкрити дужки, то одержимо Ах+Ву-(Ах₀+Ву₀)=0,

чи Ах+Ву+С=0, де С=-(Ах₀+Ву₀).

Коефіцієнти А і В при змінних = відповідним проекціям нормального вектора N на осі координат. Оскільки N<>0, то коефіцієнти рівняння повинні задовольняти умову А²+В²>0.