- •4 Алгоритм и его свойства.
- •6. Алгоритмизация решения задач и ее результат. Основные блоки визуальных алгоритмов. Пример.
- •10 Линейные и циклические алгоритмы.
- •14 Существуют прямые и итерационные методы решения нелинейных уравнений.
- •17 Одношаговые методы решения оду.
- •18 Одношаговые методы решения оду.
- •19 Одношаговые методы решения оду.
- •23 Методы прогноза и коррекции.
- •21 Методы прогноза и коррекции.
- •22 Методы прогноза и коррекции.
- •24 Методы прогноза и коррекции.
- •35. Методы одномерного поиска. Метод деления интервала пополам.
- •36. Методы одномерного поиска. Метод дихотомии.
- •37. Методы одномерного поиска. Метод золотого сечения.
- •39. Жизненный цикл программного продукта.
- •40. Основные принципа структурного программирования
- •41. Основные компоненты и понятия алгоритмических языков.
- •Условный оператор
- •Безусловные операторы
- •46. Операторы gets, putchar, getchar
- •49. While
- •51. Do while
- •52. Break и continue
- •Операторы break и continue
14 Существуют прямые и итерационные методы решения нелинейных уравнений.
Прямые методы всегда обеспечивают получение точного реш.
Итерационные методы – предусматривают реш. в виде многократно повторяющихся вычислений(многократное применение конкретного алгоритма). Полученное при этом решение всегда будит приближённым, хотя может быть очень близким к точному.
Метод Ньютона(метод касательных).
В данном методе осуществляется экстраполяция ф-ии с помощью касательной к кривой в данной точке.
Разложим ф-ию в ряд Тейлора.
f(xn+h)= f(xn)+ f ’(xn)*h+ (f “(xn)*h2)/2! + …
члены содержащие приращение во 2 и более высоких степенях отбрасываются. Используется только соотн. xn+1= xn+h. Предполагая, что при переходе от xn к xn+1 приближается значение ф-ии к нулю так, что f(xn+h)=0.
Тогда получили итерационную формулу:
xn+1= xn – f(xn)/f ’(xn)
Значение xn+1 соотв. точке, в которой касательная к кривой, проведенная в точке xn, пересекает ось Х. Быстрота сходимости зависит от выбора нач. точки xn.
Если в процессе итераций tg угла наклона касательной [f ‘(xn)] стремится к 0, то метод перестаёт работать. Тоже самое происходит при кратных корнях.
15 Существуют прямые и итерационные методы решения нелинейных уравнений.
Прямые методы всегда обеспечивают получение точного реш.
Итерационные методы – предусматривают реш. в виде многократно повторяющихся вычислений(многократное применение конкретного алгоритма). Полученное при этом решение всегда будит приближённым, хотя может быть очень близким к точному.
Метод секущих.
Этот метод является развитием метода Ньютона. Если вычисление производной затруднено, то целесообразней использовать этот метод, т.е. использовать выражение для приблизительного вычисления этой производной.
xn+1= xn – f(xn)/F’(xn), где F’(xn)=( f(xn)- f(xn-1))/(xn-xn-1)
Схема алгоритма такая же как и в методе Ньютона, разница лишь в итерационной ф-ле.
Разложим ф-ию в ряд Тейлора.
f(xn+h)= f(xn)+ f’(xn)*h+ (f “(xn)*h2)/2! + …
члены содержащие приращение во 2 и более высоких степенях отбрасываются. Используется только соотн. xn+1= xn+h. Предполагая, что при переходе от xn к xn+1 приближается значение ф-ии к нулю так, что f(xn+h)=0.
Тогда получили итерационную формулу:
xn+1= xn – f(xn)/F ’(xn)
Значение xn+1 соотв. точке, в которой касательная к кривой, проведенная в точке xn, пересекает ось Х. Быстрота сходимости зависит от выбора нач. точки xn.
Данный метод – комбинация экстраполяций и интерполяций, т.е. объединение метода хорд и метода Ньютона.
16 Решение обыкновенных дифуров.
ДУ – ур-ия, содержащие одну или несколько производных. В зависимости от числа неизвестных переменных ДУ делятся на:
1)обыкновенные, содержащие 1 неизвестную переменную и производную по ней.
2)ДУ в частных производных, т.е. содержащие несколько независимых переменных и производных по ним, которые наз. частными.
Для решения ОДУ необходимо знать значения зависимой переменной и (или) её производной при некоторых значениях независимой переменной, т.е. необходимы доп. усл. Если доп. усл. задаются при 1 значении независимой переменной, то такая задача наз. задачей Коши, а эти условия наз. начальными усл. Если же условия задаются при 2 и более значениях независимой переменной, то задача наз. краевой, а усл. – граничными.
Задача Коши:
Дано: (система) вид производной dy/dx=y’=f(x,y) – правая часть; нез.нач.усл. y(x0)=y0. Найти: y=f(x). При этом у(х) должна удовлетворять как ур-ию правых частей, так и нач. усл.
Обычно численное решение получают вычисляя сначала знач. произвондой в нач. точке, затем задают малое приращение(шаг h) и переходят к новой точке хn+1= хn+h. Для вычисления производной в начальной точке используются правые части [f(x,y)], т.е. положение новой точки опред-ся по наклону касательной, вычисленному по ДУ, т.е. геометрически процесс решения представляет собой послед-ть коротких прямоугольных отрезков, которыми и апроксимируется искомая кривая f(x,y). Сам численный метод определяет порядок действий при переходе от данной точки кривой к следующей.