10 Линейные и циклические алгоритмы.

Линейные – это А, в котором блоки выполняются пслед. с верху вниз от начала до конца. Они не содержат блока условия. Они предназначены для представления линейных процессов. Такие А. применяют для описания обобщенного решения задачи в виде послед-ти модулей. Пример: алгоритм с A, P,S.

Циклические - А. содержащие циклы.

Циклы – участки А. выполняющие многократное повторение операций по одним и тем же зависимостям при различных знач. входящих в них переменных. Бывают А. с заранее известным кол-вом итераций(цикл for) и с заранее неизвестным количеством итераций([do]while). Кроме того, различают циклы с пердусловием(цикл начинается с проверки условия(логическое выражение) входа в цикл[выход если НЕТ]) и постусловием(сначала выполняются 1 раз действия подлежащие повторению, затем проверка условия выхода из цикла[выход если ДА]).

11 Типы задач инженерной практики.

решение:

1)алгебраических и трансцендентных ур-ий.

2)задач на собственные значения.

3)обыкновенных дифуров.

4)дифуров в частных производных.

5)задач на оптимизацию.

6)задач на обработку числовых массивов.

Классификация алгебраических уравнений:

1)линейные – 1 реш.

2)нелинейные - несколько решений.

а)алгебраические – n реш. б)трансцендентные – неопред. кол-во реш.

12 Существуют прямые и итерационные методы решения нелинейных уравнений.

1)

Прямые методы всегда обеспечивают получение точного реш.

Итерационные методы – предусматривают реш. в виде многократно повторяющихся вычислений(многократное применение конкретного алгоритма). Полученное при этом решение всегда будит приближённым, хотя может быть очень близким к точному.

2)

Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса - алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:

1. точные методы;

2. итерационные методы.

Точные методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Кроме того, в некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Для их решения используются итерационные методы с заданной степенью точности.

Метод половинного деления.

Он основан на том, что при условии непрерывности ф-ции, изменение её знака однозначно говорит о существовании корня.

Алгоритм:

1) Вычисляется значение ф-ии в точках, расположенных через равные интервалы ΔХ до тех пор, пока не будут найдены 2 последовательных значения f(x_n) и f(x_n+1), имеющих противоположные знаки.

2)В полученном интервале [x_n; x_n+1] вычисляют среднее значение

Х_ср=( x_n+ x_n+1)/2 и f(x_cp).

3)Сравниваются знаки f(x_cp) и f(x_n). Если они совпадают, то на следующем шаге x_n= x_ср, если нет – то x_n+1= x_ср.В результате интервал, в котором находится значение корня сужается в 2 раза.

4)Производится сравнение | f(x_cp)|<=Е, если условие выполняется, то x_cp и есть корень. Если нет, то итерационный процесс повторяется.

Метод не обладает высокой эффективностью, но обеспечивает однозначное нахождение корня.

13 Существуют прямые и итерационные методы решения нелинейных уравнений.

Прямые методы всегда обеспечивают получение точного реш.

Итерационные методы – предусматривают реш. в виде многократно повторяющихся вычислений(многократное применение конкретного алгоритма). Полученное при этом решение всегда будит приближённым, хотя может быть очень близким к точному.

Метод ложного положения(метод хорд).

Этот метод является развитием метода половинного деления.

В основе метода лежит интерполяция ф-ии по 2 её значениям, имеющим противоположные знаки.

Алгоритм:

Прямая, проведённая через точки f(x_n) и f(x_n+1) пересекает ось Х при значении:

Х*= Х_n- f(x_n)*( x_n+1+ x_n)/( f(x_n+1)- f(x_n))

Значение Х* используется для определения f(x*), которое сравнивается со значениями f(x_n) и f(x_n+1) и используется в дальнейшем вместо того из них, с которым совпадёт по знаку. Вычисления проводятся до тех пор пока | f(x*)| не станет меньше E.