3.Колебания материальной точки
1. Основные понятия
Восстанавливающая сила – это сила, стремящаяся вернуть точку в положение равновесия. Данная сила чаще всего зависит от величины отклонения точки от положения равновесия и направлена к положению равновесия. Проведем через некоторую точку M и положение равновесия O прямую Ox, приняв положение равновесия за начало системы отсчета (рис.1).
Рис.1
Тогда проекция восстанавливающей силы на ось Ox может быть найдена из выражения
Fx=-c·x,
где c – коэффициент пропорциональности.
Кроме восстанавливающей силы при колебании на точку может действовать также возмущающая сила, т.е. такая сила, которая зависит от времени. Обычно в качестве возмущающей силы рассматривают силу, проекция которой на ось Ox определяется следующим выражением:
,
где H, p и δ – некоторые постоянные величины.
Наконец, еще одной силой, которую обычно могут рассматривать при колебаниях, является сила сопротивления. Обычно эту силу рассматривают как функцию скорости точки и называют силой вязкого трения. При этом ее проекция на ось Ox определяется из выражения
,
где b – коэффициент пропорциональности.
В зависимости от наличия восстанавливающей силы, возмущающей силы или силы сопротивления колебания материальной точки классифицируются следующим образом.
2. Свободные колебания материальной точки на пружине
Рассмотрим
колебания тела на гладкой горизонтальной
поверхности. ТочкаО
– положение равновесия (рис.2). В качестве
восстанавливающей силы
выступает сила упругости пружины.
Рис.2
;
Оx:
;
;
;
.Введем
новую величину:
- циклическая (круговая) частота колебаний.
При этом собственно частотой колебаний называется величина, которая определяется по следующей формуле:
,
мин-1.
Величина, обратная циклической частоте, называется периодом колебаний:
,
с.
Период колебаний – это время одного полного колебания.
Свободные
колебания имеют круговую частоту и
период, не зависящие от начальных условий
и
(начальная координата и начальная
скорость точки). Такое свойство называется
изохронностью колебаний.
С учетом введенного понятия циклической частоты получим следующее дифференциальное уравнение свободных колебаний материальной точки:
.
Решение этого уравнения (см. таблицу) имеет вид
,
где C1 и C2 – постоянные интегрирования.
Найдем скорость точки:
.
Постоянные
интегрирования определим по начальным
условиям: при
,
.
При этом
;
;
. (1)
Введем
обозначения:
,
.
Тогда уравнение (1) можно также представить
в следующем виде:
,
где
– амплитуда колебаний,
- фаза, ε0
– начальная фаза.
Уравнение свободных колебаний описывает синусоиду (рис.3).
Рис.3
Понятие эквивалентной жесткости.
Если точка взаимодействует с одной пружиной по схеме, отличной от ранее рассмотренной, или взаимодействует сразу с несколькими пружинами, то вводятся понятия эквивалентной пружины и эквивалентной жесткости. Эквивалентной пружиной называется пружина, на которой точка будет колебаться точно также, как на некоторой данной пружине или системе пружин. Жесткость эквивалентной пружины называется эквивалентной. Решение задач, где рассматриваются различные виды взаимодействия точки с пружинами, часто сводится к определению эквивалентной жесткости.
Существуют два основных типа соединения пружин: последовательный и параллельный. Последовательный способ соединения пружин представлен на рис.4.
Рис.4
Эквивалентная жесткость
.
Параллельный способ соединения представлен на рис.5.
Рис.5
В этом случае эквивалентная жесткость определяется по формуле
.
Влияние постоянной силы на характер колебательного процесса.
Рассмотрим
материальную точку, подвешенную к
пружине (рис.6). Начало отсчета O,
как и раньше, выбираем в положении
равновесия точки. Введем в рассмотрение
величину
- статическая деформация пружины под
действием силы тяжести. При этом по
модулю сила упругости
.
Рис.6
Рассмотрим равновесие точки, когда она не совершает колебаний:
;
. (2)
Теперь рассмотрим динамику колебаний:
;
,
где
- проекция на ось Ox
силы упругости пружины с учетом ее
статической деформации;
;
.
С учетом выражения (2) получим
,
т.е. постоянная по величине сила не оказывает влияния на колебательный процесс.