21.Определение реакций опор вращающегося тела

Рассмотрим центростремительную и вращательную силы инерции в произвольной точке тела:

(*)

Из шести уравнений (*) только шестое не содержит реакций опор и является дифференциальным уравнением вращательного движения.Из пяти остальных уравнений можно найти 5 неизвестных: X_A, Y_A, Z_A, X_B, Y_B.Слагаемые , ,

являются силами динамического давления на оси вращающегося тела. Они зависят от параметров вращения, т. е. от сил инерции.Если тело рассматривается в статике (покое), то эти силы динамического давления равны нулю, т. к. и .В этом случае реакции опор будут статическими реакциями.Процесс уменьшения значений статических реакций различными способами называется статической балансировкой.Если мы уберем во всех уравнениях (*) первое слагаемое и найдем в этом случае реакции опор, то мы получим динамические реакции, зависящие только от сил инерции.Процесс уменьшения значений динамических реакций любыми способами называется динамической балансировкой.

Для динамической балансировки необходимо решить уравнения:

(**)

По третьему закону Ньютона динамические реакции равны по модулю и противоположны по направлению силам динамического давления.

Система (**) решается при условии:

1)

2)

Из этого следует: чтобы динамически сбалансировать тело, ось вращения должна быть главной центральной осью инерции и проходить через центр масс.

22. Основы аналитической механики.

Связи и их уравнения. Классификация связей

Связями называют ограничения, накладываемые на координаты и/или скорости материальных точек механической системы.

Тела, явление сцепления и прочие причины, накладывающие ограничения на перемещение принятой к рассмотрению механической системы, называют связями.В общем случае уравнение связи, наложенной на точки и скорости механической системы, будет иметь следующий вид:

.

Связь, не изменяющаяся со временем, называется стационарной, в противном случае – нестационарной.Если связь налагает ограничения только на координаты точек механической системы, то такая связь называется геометрической. Если связь налагает ограничения на координаты точек системы и на их скорости, то связь будет являться кинематической или дифференциальной. Связь, являющаяся геометрической, также является и кинематической. Обратное утверждение неверно.

Если уравнение кинематической связи можно свести к зависимости только между координатами точек системы, то такая кинематическая связь будет являться интегрируемой, в противном случае – неинтегрируемой.

Кинематические интегрируемые и геометрические связи называются голономными, а кинематические неинтегрируемые – неголономными.

Т.е. голономные – это связи, которые удаётся представить математическими зависимостями между координатами (определяющими положение одних тел относительно других).

Однако встречаются случаи, когда попытки получить голономные связи к успеху не приводят. В частности, это не удаётся сделать для шара, катящегося без проскальзывания по поверхности - в составляемые уравнения входят не только координаты, но и производные от них по времени, а проинтегрировать эти дифференциальные уравнения никто не может. Такие связи называют неголономными; иначе: неинтегрируемыми.

Связи могут быть описаны уравнениями или неравенствами, в которые входят координаты и/или скорости точек механической системы. Например, если шар соединен со сферическим шарниром жестким стержнем, то уравнение связи имеет следующий вид: ,а если вместо стержня шар будет удерживать нерастяжимая нить, то его положение будет определяться неравенством .

Удерживающие – те, которые описываются уравнениями, и неудерживающие – те, которые описываютсянеравенствами.

Возможные перемещения. Число степеней свободы

На любую, принятую к рассмотрению, механическую систему могут действовать различные комплексы сил. Например, на стену здания может действовать ветер со скоростью , и т.д. м/с, С ведущим валом зубчатого редуктора транспортёра может быть соединён вал электродвигателя с частотой вращения и т.д. об/мин; на ленте транспортёра перемещаемого материала может быть много и мало.

Действительное движение (синоним: перемещение) механической системы – это то, которое она имеет от конкретно действующей системы сил.Возможные движения механической системы – это вся бесконечно большая совокупность различных движений, которые механическая система может иметь при поочерёдном действии на неё бесконечно большой совокупности различных систем сил.Возможное движение механической системы – это конкретно принятое к анализу одно из возможных её движений.Для действительных скоростей будем, как и ранее, применять обозначения:

- скорость точки, или поступательно движущегося тела;

- угловая скорость вращательно движущегося тела.

В действительном движении

, где

- действительное элементарное перемещение точки;

- действительное элементарное угловое перемещение тела;

- элементарный промежуток времени при рассмотрении действительного движения.

Скорости при рассмотрении возможного движения, в отличие от действительного, будем обозначать теми же, но прописными (большими) буквами: - возможная линейная и - возможная угловая скорости. При их выражении через линейные и угловые перемещения условились вместо « » использовать букву « » - , где

- возможное линейное и - возможное угловое перемещение;

- элементарный промежуток времени при рассмотрении возможного движения.

Отличать названиями и обозначениями целесообразно ещё две величины.-

Для обозначения действительных мощностей была задействована буква . Причём ,

где - действительная элементарная работа (от действительных сил при действительном движении механической системы).

Мощность же действительно приложенных к механической системе сил, но не на действительном, а на принятом к рассмотрению возможном перемещении, будем обозначать и называть – «возможная мощность», где - это «возможная работа» - элементарная работа действительно приложенных к механической системе сил, но не на действительном, а на принятом к рассмотрению возможном её перемещении»

Число независимых возможных перемещений называется числом степеней свободы (применительно к точке и системе).