4. Понятие о полноте системы булевых функций

Опр. Сис-ма булевых ф-ций наз-ся полной, если любую булеву ф-цию м.получить из ф-ций дан.сис-мы с пом-ю операций подстановки ф-ции в ф-цию и замены переем-х, примененных конечное число раз.Основные лог.связки, используемые нами – &, , ,. С помощью равносильности xy  мы м.во всех ф-лах, в кот.встр-ся под.ф-ла xy заменить ее на и, тем самым, исключить из использования знак .Т1 С-ма булевых ф-ций {&, , } явл-ся полной.Люб. булеву ф-кцию м.записать в СДНФ. (н-р табличным способом).Т2 С-ма булевых ф-кций {, } явл-ся полной.

Следует из Т1 и з-нов де Моргана:  , 

 Т3 С-ма булевых ф-кций {&, } явл-ся полной. .

Т4 Сис-а булевых ф-ций {,} явл-ся полной.Следует из Т2 и равносильности xy  .Т5 С-ма булевых ф-ций {&, ,}, не содержащая , не является полной.До-во: Р! булеву ф-цию специального вида. Назовем ф-цию (или формулу (АВ)) f(x₁,x₂,…,x_n) сохраняющей истину, если f(1,1,…,1)=1.

Док-м, что булевы ф-ции &, , сохраняют истину. Пусть f₁(x₁,x₂,…,x_n) и f₂(x₁,x₂,…,x_n) – ф-ции, сохраняющие истину, т.е. f₁(1, 1,…,1)=1 и f₂(1, 1,…,1)=1. Тогда:f₁ & f₂=1;f₁  f₂=1;f₁  f₂=1.Т.е. булевы ф-ции &, , сохраняют истину, если они применяются к ф-циям, сохраняющим истину. Других же ф-ций получить нельзя.Но среди булевых ф-кций есть ф-ции, не сохраняющие истину. Н-р: .

Эту ф-цию нельзя получить с пом-ю рассматриваемой системы булевых ф-ций {&, ,}.

Следствие: Сис-мы булевых ф-ций {&, }, {&,}, {,}, {&}, {}, {} неполны. (Как подсистемы неполных систем).

Т6 Сист-ма булевых ф-ций {} неполна.Пусть даны пропозициональные переем-е x₁, x₂, …,.x_n. При помощи отрицания можно получить только x₁, x₂, …,.x_n, , т.е. ф-ции от одной переем-й и ни одной ф-ции с двумя переем-ми. Это док-т неполноту этой сис-мы.

Вместе с тем сущ-т полные сис-мы, содерж.одну булеву ф-цию, кот.выражается через &, , .

Штрих Шеффера

Обозн. xy (читается «x штрих y). Задается таблицей истинности:

Высказывание АВ озн-т, что А и В несовместны, т.е. не явл-ся истинными одновр-но. Через штрих Шеффера выраж-ся все др.лог.операции:x  xx;

xy  (xx)(yy);

x&y  (xy)(xy);

xy  x(yy).

x	y	xy	xx	yy
0	0	1	1	1
0	1	1	1	0
1	0	1	0	1
1	1	0	0	0
xxyy		xyxy			x(yy)
0		0			1
1		0			1
1		0			0
1		1			1

Значит справедлива теорема 7:

Т7 Система булевых ф-ций {} явл-ся полной.Штрих Шеффера был введен в рассмотрение Г.Шеффером.Cтрелка Пирса (введена за 30 лет до ш.Шеффера).Обозн. x↓y (читается «x стрелка y»). Задается таблицей истинности:

Высказывание А↓В означает «ни А, ни В». Через стрелку Пирса выражаются все другие логические операции:

x  x↓x;

x&y  (x↓x)↓(y↓y);

xy  (x↓y)↓(x↓y);

x	y	x↓y	x↓x	y↓y
0	0	1	1	1
0	1	0	1	0
1	0	0	0	1
1	1	0	0	0
(x↓x)↓(y↓y)	(x↓y)↓(x↓y)		((x↓x)↓y)↓((x↓x)↓y)
0	0		1
0	1		1
0	1		0
1	1		1

((x↓x)↓y)↓((x↓x)↓y) Значит справедлива теорема 8:

Т8 Система булевых функций {} является полной

3. Основные равнос-сти алгебры выс-й.Равносильные ф-лыОпр. Две ф-лы алгебры выс--й наз-ся равносильными, если они на одинаковых наборах знач-й своих переем-х принимают одинаковые знач-я истинности. Обозн. F₁F₂

Читается: ф-ла F₁ равносильна ф-ле F₂.

Например: F₁=x &y; F₂=x y

.Свойства логических операций:(Основные равносильности (АВ))Приведем перечень наиболее важных равносильных ф-л, выражающих св-ва лог.операций, непосредственно усматриваемых из опр-й этих операций или легко устанавливаемых с пом-ю таблиц истинности:

1. -закон двойного отрицания.

2. x&x  x-идемпотентность конъюнкции.

3. xx  x-идемпотентность дизъюнкции.

4. x&y  y&x-ком-ть конъюнкции.

5. xy  yx-коммутативность дизъюнкции.

6. (x&y)&z  x&(y&z) -ассоциативность конъюнкции. 7. (xy) z  x (yz) –ас-ть дизъюнкции.

8. x&(yz)  (x&y)(x&z) -дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции.

9. x(y&z)  (xy)&(xz) -дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции

10. x&(yx)  x-закон поглощения.

11. x(y&x) x-закон поглощения.

12. -.закон де Моргана.

13 --закон де Моргана.

14. xy  yx.

15. xy  (xy)&(yx)

16. .

17

18. x&y  .

19. xy 

20. ( -закон противоречия).

21. - закон исключенного третьего.

22. x&1 .

23. x .

24. x&0 .

25. x 0 x

Докажем формулу (12):

Равнос-сти м.испол-ть для упрощения ф-л алгебры выск-й.Н-р.

1)

2)

Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы.(ДНФ и КНФ).Для кажд.ф-лы ал-ры выс-й м. указать равносильную ей ф-лу, содержащую из лог.связок лишь отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию. Опр. Ф-ла F наз-ся элементарной конъюн-й (дизъюнкцией), если F есть кон-ция (диз-ция) простейших выск-й или их отрицаний, и кажд.простейшее выс-е встречается в ф-ле ровно один раз.

Пр-ры:

Элемент.кон-ция	Элемент.диз-ция
-не явл-ся	-не явл-ся
-не явл-ся	-не явл-ся

Опр. ДНФ (КНФ) наз-ся ф-ла, явл-ся дизъюнкц-й (конъюнкц-й) элем-х конъюнкций (дизъюнкций). Пр-ры: const.  0 –– ДНФ, xy – ДНФ,xy yzx – ДНФ.

Теорема. Всякая, не тождественно лож.ф-ла (АВ) равносильна нек-й ДНФ.Р! 2 способа нахождения ДНФ. Таб-й и аналитический (с помощью равносильностей).Пример. 1) Табличный:

. Составим т-цу истинности:

Рекомендации: выделить те строчки таблицы, в кот.значение ф-лы равно 1;напротив каждой выделенной строки записать конъюнкцию перем-х, входящих в ф- лу;поставить знак отрицания над теми перем-ми, значения кот.на дан.наборе равны 0;составить дизъюнкцию полученных элементарных конъюнкций. Это и есть ДНФ;

Упростить получ.ДНФ с пом-ю основных равносильностей до мин.ДНФ.

ДНФ:

( y (

Аналитический:-избавиться от импликаций с помощью равнос-й;-используя з-ны де Моргана отрицания внести внутрь ф-лы так, чтобы они относились к перем-м, двойныеотрицания удалить; - с помощью дистрибутивного закона получить ДНФ;-упростить ДНФ.

Пример.



   

   – минимальная ДНФ.

Совершенная ДНФ

Опр. ДНФ называется совершенной отн-но дан.мн-ва переем-х, если каждая переем-я входит в каждую элементарную конъюнкцию (с отрицанием или без отрицания), причем ровно один раз.Элементарные конъюнкции, вход.в СДНФ д.б.различными.Н-р:

1) xyz xyz– СДНФ от x, y, z.

2) xy– СДНФ от x, y, но не является СДНФ от x, y, z.

Замечания 1. const.0 – СДНФ;

2. ДНФ, найденная табличным способом, является СДНФ.

3. F= – СДНФ от переменной x, но не является СДНФ от x, y, z, которая может быть из нее получена: F= = = – СДНФ от x, y, z.

Теорема. Всякая ф-ла ал-ры выс-й имеет равносильную ей СДНФ, кот.опр-ся с точ-ю до порядка записи элемент-х конъюнкций.

2. Понятие булевой функции. Таблица истинности формулыПодставляя в ф-лу вместо пропозициональных пер-x, y, z,… значения 0,1, и выполняя действия, мы б.пол-ть знач-я ф-лы.Опр. Булевой ф-цией наз-ся ф-ция, зад. на мн-ве {0,1} и приним.знач-я из этого же мн-ва.Каждой ф-ле алгебры в-й соответствует булева ф-ция и притом единственная. Таблица знач-й этой ф-ции наз-ся таблицей истинности.Лемма. Сущ. 2ⁿ наборов, элементами кот-х явл-ся нули и единицы, длины n. (Длина набора – число символов, входящих в набор).Док-во методом математической индукции:

1. Пусть n=1: Имеем 2 набора {0},{1}.

2. Предположим, что утверждение леммы справедливо для n=k. Существует 2^k наборов длины k, элементами кот-х явл-ся нули и единицы.

{0,1}

Применим к набору (1) след. преобразование: сначала допишем в конце набора 0, а затем 1. В рез-те, из одного набора длины k получим два набора длины (k+1).

Таким же образом поступим с каждым из 2^k наборов. Всего наборов получится:22^k=2^k+1.По принципу мат.индукции утверждение леммы справ-во для люб.нат.числа n.Теорема. Существует 2²ⁿ булевых функций от n переменных.Р!булевы ф-ции от 2 пер-х:

x	y	f0	f1	f2	f3
0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	0
1	0	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1
f4	f5	f6	f7	f8	f9
0	0	0	0	1	1
1	1	1	1	0	0
0	0	1	1	0	0
0	1	0	1	0	1
f10	f11	f12	f13	f14	f15
1	1	1	1	1	1
0	0	1	1	1	1
1	1	0	0	1	1
0	1	0	1	0	1

f₀0 – константа, f₁=x&y – конъюнкция

f₂= , f₃=x – повторение аргумента x, f₄= ,f₅=y – повторение аргумента y, f₆= , f₇=xy – дизъюнкция. f₈= – стрелка Пирса, f₉=xy – эквивалентность, f₁₀= – инверсия y, f₁₁=yx – импликация,f₁₂= – инверсия x, f₁₃=xy – импликация,f₁₄= – штрих Шеффера,f₁₅1 – константа. Среди перечисленных 16-ти ф-ций две ф-ции – константы, 4 ф-ции зависят от одной пер-й и 10 – от 2-х.Особую роль играют булевы ф-ции тождественно рав.1 при люб.наборах знач-й пер-х.

Опр. Формула (АВ) наз-ся тождественно истинной (тавтологией), если она принимает значение «истина» при люб.знач-х переем-х, входящих в ф-лу.

Пример: F(x,y)=(xy)  (yx)

1.ВЫСКАЗЫВАНИЯ.Алгебра высказываний.Высказывания и операции над нимиВыс-е–основное,неопределяемое понятие.Любые утверждения,об ист-ти или лож-ти кот-х имеет смысл говорить, мы б.наз-ть высказываниями, при этом мы можем не знать, истинно ли данное выс-е или нет. Выс-ми, например, б.след. утверждения:- «Кама является одной из крупнейших рек России»;- «8 – есть простое число»;- «9000 –я цифра в десятичной записи числа π есть 7». Первое из этих утвержд-й истинно,второе–ложно; ист-ть или лож-ть третьего утверж-я нам неизвестна.Выс-я б.обоз-ть лат.буквами (прописными и строчными, с индексами и без них): A, B, C, ..., A1, A2, C3, …,p, q, r, …, q2, q3 … .Итак, пусть p, q, r –выс-я или пропозициональные (высказывательные) переменные, кот.м.принимать два значения истинности: Л (0; F – false) и И (1; Т – true). Разл. образом сочетая выс.-я м\д собой, мы м.пол-ть новые выс-я. Н-р, из двух выс-й: «Пермь – столица Пермского края» и «8 – есть простое число» м.пол-ть след.выс-я:-«Пермь–столица Перм. края и 8 – есть пр. число»,- «Пермь – столица Пермского края или 8 – есть простое число»,- «Если Пермь – столица Пермского края, то 8 – есть простое число»,- «Пермь – столица Пермского края тогда и только тогда, когда 8 – есть простое число».Из перв.выс-я м. получить новое выс-е - «неверно, что Пермь является столицей Пермского края», т.е. выс-я, явл.отрицанием первого.Приведенные сочетания выс-й образуются при помощи слов «И»; «ИЛИ», «ЕСЛИ…, ТО», «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА…», «НЕ». В математической логике для обозначения этих основных типов сочетаний, имеющих название, используются спец.символы:p q(p&q, pq,p∙q)– читается «пэ и ку») – обозначает сложное выс-е, истинное только в том случае, когда p и q оба истинны. Такое выс-е называют конъюнкцией (от лат. conjunctio – союз, связь) высказываний p и q. p q(читается «пэ или ку») обозначает сложное выс-е, истинное тогда лишь, когда по крайней мере одно из выс-й истинно (м.быть истинными оба выс-я). Такое выс-е наз-т дизъюнкцией (от лат. disjunctio – различение, разобщение) высказываний p и q.p q(p q, p q)– читается «если пэ, то ку», «пэ достаточно для ку», «ку необходимо для пэ», «ку с необходимостью следует из пэ», «из пэ следует ку», «пэ влечет ку») обозначает сложное выс-е, кот.ложно только в том случае, когда p истинно, а q ложно и истинно во всех остальных случаях. Такое выс-е называют импликацией (от лат. implico – тесно связываю) выс-й p и q. В импликативном высказывании p q различают антецедент (основание) – высказывание p и консеквент (следствие)–выс-е q.p q(p q, p q, p q)– читается «пэ тогда и только тогда, когда ку», «пэ если и только если ку», «пэ в том и только том случае, когда ку») обоз-т сложное выс-е, истинное, когда выс-я p и q одновременно оба истинны или оба ложны. Такое выс-е наз-т эквивалентностью выс-p и q. – читается «не пэ», «неверно, что пэ») – есть противоположность p. Обозначает выс-е, истинное, если p ложно и ложное, если p истинно. Такое выс-е наз-т отрицанием высказывания p.Замечание 1. Символы &, , , соответствуют бинарным операциям: новое высказывание сопоставляют двум высказываниям p и q, а символ выражает определенную на том же мн-ве унарную операцию: сопоставляет новое высказывание одному высказыванию p.Замечание 2. Слова «и»; «или», «если…, то», «тогда и только тогда, когда…», являющиеся связками в нашем обычном языке, в мат.логике получают несколько иной смысл.В обычном языке союз «и» исп-ся, как правило, для объединения двух предложений, соответствующих друг другу по смыслу в некот.связном повествовании как это бывает при описании последовательности событий (Елена хорошо подготовилась к экзамену Однако в логике «И» м.соединять люб.предл-я, совершенно незав-мо от наличия смыслового соответствия м\д ними.Аналог.союз ИЛИ в обычном языке употребляется в двух смыслах – в смысле исключающем от лат. aut («p или q, но не оба») и в смысле неисключающем от лат. vel («p или q, или оба). Именно в последнем смысле мы б.исп-ть союз ИЛИ чаще. И здесь опять несущественна смысл.зав-ть соединяемых выс-й.Не сущ-на смысловая связь в логике между выс-ми и при построении импликации, хотя в обычном языке сложное предл-е «если p, то q» предп-т м\д p и q отн-е посылки и следствия, или же причины и обусловленного ею дей-я.(Если б. дождь, то мы не пойдем на прогулку).В логике для ис-ти импликации дост-но, чтобы p было ложно или q – истинно.Т.о.,выс-я типа:– Если 7 – простое число, то 22=4;– Если 8 – простое число, то 22=4;-Если 8 – простое число, то 22=5 д.считаться истинным. Утверждение «p тогда и только тогда, когда q» не означает в логике, что составляющие предл-я p и q имеют одно и то же знач-е или один и тот же смысл, оно означает лишь выск-е, кот.истинно, когда оба выс-я истинны или ложны.Все, что говорилось о лог.смысле конъюнкции, дизъюнкции,импликации, эквивалентности и отрицания м.просто и наглядно проиллюстрировать с пом-ю Т.Н.таб-ц истинности.В таблицах выпис-ся всевозможные комбинации ист-х и лож-х зн-й составл.выс-й, а в результирующей колонке указ-ся ист-ть или лож-ть сложного выс-я для кажд.такой комбинации. Б.сопоставлять ист-му выс-ю символ 1, а ложному – символ 0.Вот как выглядят т-цы истинности для &, , , и :

p	q	P&q	p q	P q	p q
0	0	0	0	1	1	1
0	1	0	1	1	0
1	0	0	1	0	0	0
1	1	1	1	1	1

Понятие формулы алгебры выс-й.Опр. Алфавитом наз-ся произв.мн-во символов. Введем алфавит, сост.из след. групп символов:x, y, z, p, …А, В,… – пропозициональные переем-е;&, , , и :– лог.связки;(, ) – 2 технических символа.Опр. (ф-лы алгебры выск-й):Каждая отдельно взятая пропозицион-я перем-я есть ф-ла алгебры выс-й. Ф-лы такого вида наз-ся простейшими (атомами).Если x – формула ал-ры выс-й (АВ), то (x) – ф-ла (АВ).Если x и y – ф-лы ал-ры выс-й, то (x&y), (xy), (xy), (xy) – тоже ф-лы (АВ).Никаких др.ф-л (АВ), кроме получающихся сог-сно п.п.1–3 нет.Опр-я такого типа наз-ся индуктивными. В них имеются прямые пункты (1,2,3), где задаются объекты, к.в дальнейшем именуются определяемым термином и косвенный пункт (4), в к.говорится,что такие объекты исчерпываются зад.в прямых пунктах. Среди прямых пунктов им-тся базисные (1), где указ-ся нек.конкретные объекты, именуемые в дал.определяемым термином, и индуктивные пункты (2,3), где даются правила получения определяемых объектов из уже имеющихся объектов, в частности из объектов, перечисл-х в базисных пунктах.Зам-е: «О силе связок».Для упрощения записи формул (уменьшения числа скобок в них) будем считать, что:порядок выполнения лог.операций над выс-ми д.б.след.:, &, , , внешние скобки, заключающие внутри себя все остальные символы, составл.ф-лу, м.опускать.Учитывая это соглашение, а также опустив знак конъюнкции, ф-лу м.зап-ть в виде .При чтении ф-ла м.б.названа по «последней» операции. Запис.ф-ла П.С. импл-цию.

6