Понятие о многокритериальности
Общая постановка многокритериальной задачи
Методы поиска решений в многокритериальных задачах
Понятие о многокритериальности
В середине прошлого столетия для решения военных, производственных и социально-экономических задач широкое распространение получили методы исследования операций. Основными этапами решения любой задачи в исследовании операций являются:
построение модели; b. выбор критерия оптимальности; c. нахождение оптимального решения
Для этого подхода характерны следующие особенности.
Предполагается, что модель, правильно отражающая действительность, при заданном критерии оптимальности, приводит к единственно возможному решению.
2) По заказу руководителя аналитики исследуют организацию, внешнюю среду и строят адекватную модель. В этой работе сам ЛПР чаще всего не нужен, аналитики самостоятельно находят удачное решение.
3) Существует объективный и единственный критерий успехов в применении методов исследования операций. Если проблема, требующая решения, ясна и критерий определен, то аналитический метод однозначно показывает, насколько новое решение лучше старого.
Примеры задач этого типа: обобщенная транспортная задача (оптимизация множества маршрутов), задача о назначениях (поручение работы при выполнении сложной задачи) и т.д.
Методы исследования операций работают хорошо, когда имеется единственный критерий. Когда же критериев несколько, ситуация существенно изменяется. Например, в случае обобщенной транспортной задачи. Пусть некая авиакомпания хочет минимизировать издержки при условии максимума прибыли и максимума удобств для пассажиров. Как согласовать эти критерии? В рамках самой задачи невозможно найти оптимальное решение, для уточнения соотношений между критериями необходима дополнительная информация о возможных соотношениях этих критериев, и эта информация может быть получена только от ЛПР этой компании.
Вообще многокритериальные задачи, возникшие в идеологии методов исследования операций, имеют одну общую особенность: модель, описывающая множество допустимых решений, объективна, но качество решения оценивается по многим критериям. Для выбора наилучшего варианта решения необходим компромисс между оценками по различным критериям. В условиях задачи отсутствует информация, позволяющая найти такой компромисс, т.е., невозможно аналитическим путем найти соотношение между критериями.
2. Общая постановка многокритериальной задачи
Рассмотрим постановку решения классической задачи при двух критериях, когда в качестве критериев используются стоимость и эффективность какого-либо проекта, например, системы противоракетной обороны, транспортной системы города и т.п.
Такого рода модели состоят из двух частей: модели стоимости и модели эффективности. Например, для системы противоракетной обороны модель стоимости представляет зависимость общей стоимости проекта от количества ракет (линейная зависимость), а модель эффективности – зависимость вероятности поражения от количества ракет (нелинейная зависимость, выходит на насыщение). Обе модели можно рассматривать как объективные: они строятся на базе фактических данных, надежного статистического материала. Однако выходные параметры этих моделей не могут быть объединены аналитически, для этого необходимо суждение руководителя, который определяет значения стоимости и эффективности.
Существует несколько эвристических приемов, позволяющих сделать более обоснованный вывод в такой ситуации.
В первом случае мы (ЛПР) задает предельно допустимые значения для всех критериев, кроме одного, по которому и проводится оптимизация. Например, в случае пары критериев «эффективность-стоимость» ЛПР задает предельное значение стоимости, и в этом случае стоимость из разряда критериев переходит в разряд ограничений. Решение ищется для эффективности при учете ограничений на стоимость. Как правило, такой метод (перевод части критериев в ограничения) возможен лишь при небольшом количестве критериев, четко и однозначно описывающих ситуацию.
В более сложных случаях (большое количество критериев, неясные последствия и т.д.) в качестве предварительного шага для выбора соотношения критериев используется метод построения множества Эджворда-Парето (или просто множества Парето). Это множество представляет собой область максимально возможных значений параметров, включая различные соотношения между параметрами.
Например, для задачи «эффективность-стоимость» множество Эдворда-Парето может быть представлено в виде следующей зависимости:
Эффективность
max
min
max min Стоимость
В данном случае линия на графике представляет собой множество Эдворда-Парето, являющееся, по сути, различными вариантами соотношений между критериями оптимальности задачи. Любое из перечня оптимальных решений лежит на этой линии и задача ЛПР состоит в том, чтобы выбрать некоторую точку на этой линии.
В случае большего количества критериев линия превращается в многомерную область Парето, но и в этом случае сохраняется ее основное свойство – обозначать область наиболее эффективных решений. Таким образом, максимум, на что способны классические методы исследования операций – это нахождение области Парето, а уже в пределах этой области решение должен выбирать ЛПР. Вообще говоря, это тоже очень непростая задача, в связи с чем разработан ряд методов для увеличения обоснованности принятого решения.