81. Кривая Гаусса.

Нормальный закон распределения (закон Гаусса). Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами   и  (обозначают  ), если ее плотность вероятности имеет вид:

, где   ,   .
	Функция плотности  вероятности f(x)	Функция распределения F(x)
Рис.2. Нормальный закон распределения

Математическое ожидание характеризует центр рассеивания значений случайной величины и при изменении   кривая будет смещаться вдоль оси абсцисс (см. рис. 2 при   и при  ). Если же при неизменном математическом ожидании у случайной величины изменяется дисперсия, то кривая будет изменять свою форму, сжимаясь или растягиваясь (см. рис. 2 при  :  ;  ;  ). Таким образом, параметр   характеризует положение, а параметр  - форму кривой плотности вероятности.

Нормальный закон распределения случайной величины Х с параметрами   и   (обозначается N(0;1)) называется стандартным илинормированным, а соответствующая нормальная кривая – стандартной или нормированной.

Согласно определению функция плотности вероятности и функция распределения связаны между собой:

 ,   где   .

  82. Что изучает математическая статистика? Математическая статистика - это раздел математики, в котором разрабатываются методы полученных выводов о массовых явлениях на основе анализа статистических данных. 83. Перечислите основные задачи математической статистики. 1. Задача определения закона распределения случайной величины (или системы случайных величин) по статистическим данным Мы уже указывали, что закономерности, наблюдаемые в массовых случайных явлениях, проявляются тем точнее и отчетливее, чем больше объем статистического материала. При обработке обширных по своему объему статистических данных часто возникает вопрос об определении законов распределения тех или иных случайных величин. Теоретически при достаточном количестве опытов свойственные этим случайным величинам закономерности будут осуществляться сколь угодно точно. На практике нам всегда приходится иметь дело с ограниченным количеством экспериментальных данных; в связи с этим результаты наших наблюдений и их обработки всегда содержат больший или меньший элемент случайности. Возникает вопрос о том, какие черты наблюдаемого явления относятся к постоянным, устойчивым и действительно присущи ему, а какие являются случайными и проявляются в данной серии наблюдений только за счет ограниченного объема экспериментальных данных. Естественно, к методике обработки экспериментальных данных следует предъявить такие требования, чтобы она, по возможности, сохраняла типичные, характерные черты наблюдаемого явления и отбрасывала все несущественное, второстепенное, связанное с недостаточным объемом опытного материала. В связи с этим возникает характерная для математической статистики задача сглаживания или выравнивания статистических данных, представления их в наиболее компактном виде с помощью простых аналитических зависимостей. 2. Задача проверки правдоподобия гипотез Эта задача тесно связана с предыдущей; при решении такого рода задач мы обычно не располагаем настолько обширным статистическим материалом, чтобы выявляющиеся в нем статистические закономерности были в достаточной мере свободны от элементов случайности. Статистический материал может с большим или меньшим правдоподобием подтверждать или не подтверждать справедливость той или иной гипотезы. Например, может возникнуть такой вопрос: согласуются ли результаты эксперимента с гипотезой о том, что данная случайная величина подчинена закону распределения ? Другой подобный вопрос: указывает ли наблюденная в опыте тенденция к зависимости между двумя случайными величинами на наличие действительной объективной зависимости между ними или же она объясняется случайными причинами, связанными с недостаточным объемом наблюдений? Для решения подобных вопросов математическая статистика выработала ряд специальных приемов. 3. Задача нахождения неизвестных параметров распределения Часто при обработке статистического материала вовсе не возникает вопрос об определении законов распределения исследуемых случайных величин. Обыкновенно это бывает связано с крайне недостаточным объемом экспериментального материала. Иногда же характер закона распределения качественно известен до опыта, из теоретических соображений; например, часто можно утверждать заранее, что случайная величина подчинена нормальному закону. Тогда возникает более узкая задача обработки наблюдений – определить только некоторые параметры (числовые характеристики) случайной величины или системы случайных величин. При небольшом числе опытов задача более или менее точного определения этих параметров е может быть решена; в этих случаях экспериментальный материал содержит в себе неизбежно значительный элемент случайности; поэтому случайными оказываются и все параметры, вычисленные на основе этих данных. В таких условиях может быть поставлена только задача об определении так называемых «оценок» или «подходящих значений» для искомых параметров, т.е. таких приближенных значений, которые при массовом применении приводили бы в среднем к меньшим ошибкам, чем всякие другие. С задачей отыскания «подходящих значений» числовых характеристик тесно связана задача оценки их точности и надежности. С подобными задачами мы встретимся в главе 14. Таков далеко не полный перечень основных задач математической статистики. Мы перечислили только те из них, которые наиболее важны для нас по своим практическим применениям. В настоящей главе мы вкратце познакомимся с некоторыми, наиболее элементарными задачами математической статистики и с методами их решения. 84. Дайте определение генеральной совокупности. Совокупность объектов, из которой осуществляется выборка ,называется генеральной совокупностью. 85. Дайте определение выборочной совокупности. Совокупность случайно отобранных объектов называется выборочной совокупностью(выборкой). 86. В чем состоит сущность выборочного метода? Сущность выборочного метода заключается в том, чтобы по свойствам части (выборки) судить о численных характеристиках целого (генеральной совокупности), по отдельным группам вариант-об их общей совокупности, которая иногда мыслится как совокупность неограниченно большого объема. Основу выборочного метода составляет та внутренняя связь, которая существует в популяциях между единичным и общим, частью и целым. 87. Какую выборку называют репрезентативной? Для того чтобы по. Данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности необходимо, чтобы объекты выборки правильно её представляли, то есть говорят, что выборка должна быть репрезентативной( то есть представительной). Для этого выборку нужно осуществлять случайно( все объекты имеют одинаковую вероятность попадания в выборку). Замечания: 1) если объем генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть, то различия между повторной и бес повторной выборкой стираются.  88. Что понимают под статистическим распределением выборки?

Статистическое распределение выборки - это

• -соответствие между вариационным и частотным рядами

• -вариационный ряд

• -частотный ряд

• -число вариант в вариационном ряду

Статистическим (эмпирическим) законом распределения выборки, или просто статистическим распределением выборки называют последовательность вариант х_i и соответствующих им частот n_i или относительных частот w_i.

Статистическое распределение выборки удобно представлять в форме таблицы распределения частот, называемой статистическим дискретным рядом распределения:

или в виде таблицы распределения относительных частот: 89. Как вычисляется выборочное среднее?

Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения признака выборки различны, то

если же все значения имеют частоты n1, n2,…,nk, то

Выборочная средняя является несмещенной и состоятельной  оценкой генеральной средней.

Замечание: Если выборка представлена интервальным вариационным рядом, то за xi принимают середины частичных интервалов.