11. Распределение потенциала вдоль участка ветви. Потенциальная диаграмма.

Рассмотрим участок электрической цепи (рис. 16)

Рис. 16.

Участок ветви, содержащий один или несколько источников энергии, является активным.

Положительные направления тока и напряжения указаны стрелкой.Определим потенциалы точек c, d, e, b, предположив, что известен потенциал точки a-_a.

Для правильного выбора знаков следует помнить, что:

1. ток в сопротивлении всегда направлен от более высокого потенциала к более низкому, т.е. потенциал падает по направлению тока.

2. э.д.с., направленная от точки «с» к точке «d», повышает потенциал последней на величину E.

3. напряжение U=Uac положительно, когда потенциал точки а выше, чем потенциал точки с.

При обозначении напряжения (разности потенциалов) на схемах посредством стрелки она ставится в направлении от точки высшего потенциала к точке низшего потенциала.

На рис. 16 ток протекает от точки «а» к точке «с», значит потенциал _с будет меньше _a на величину падения напряжения на сопротивлении R₁, которое по закону Ома равно IR₁:_{с =} _a - IR₁На участке cd э.д.с. E₁ действует в сторону повышения потенциала, следовательно:

_d = _{с +} E_{1 =} _a - IR₁₊ E₁Потенциал точки «e» меньше потенциала точки «d» на величину падения напряжения на сопротивлении R₂: _e = _d – IR_{2 =} _a - IR₁₊ E₁– IR₂

На участке e в э.д.с. E₂ действует таким образом, что потенциал точки «b» меньше потенциала точки «e» на величину E₂:_b = _e – E_{2 =} _a - IR₁₊ E₁– IR₂ – E₂ = _a – I(R₁+R₂) + E₁-E₂ (15)

Чтобы наглядно оценить распределение потенциала вдоль участка цепи, полезно построить потенциальную диаграмму, которая представляет график изменения потенциала вдоль участка цепи или замкнутого контура.

По оси абсцисс графика откладываются потенциалы точек, а по оси ординат – сопротивления отдельных участков цепи. Для участка цепи рис. 16 распределение потенциала построено на рис. 17.

Рис. 16. Потенциальная диаграмма участка цепи.

Потенциальная диаграмма рис. 16 построена, начиная с точки a, которая условно принята за начало отсчета. Потенциал _a принят равным нулю.

Точка цепи, потенциал которой условно принимается равным нулю, называется базисной.

Если в условии задачи не оговорено, какая точка является базисной, то можно потенциал любой точки условно приравнивать к нулю. Тогда потенциалы всех остальных точек будут определяться относительно выбранного базиса.

12. Эквивалентное преобразование пассивного соединение “звезда” в “треугольник”

Известно:

; ;

Разделим R₃ на R₁ и R3 на R2 :

Выражая R₂₃ и R₃₁ через R₁₂ и подставив в R₁ получим:

; ;

Домножим получившееся выражение на R₂:

_{Разделим на R3:}

Сопротивление стороны треугольника равна сумме сопротивлений прилегающих лучей звезды и произведения их деленного на сопротивления третьего луча

Метод эквивалентного преобразования пассивного соединения «треугольник» в соединение «звезда».

Суть метода заключается в том, что методом преобразования уменьшают число ветвей и узлов в электрической цепи, а, значит, количество уравнений описывающих данную цепь.

Преобразования должны быть эквивалентными – это означает, что токи и их направления в частях схемы, не затронутых преобразованиями, остаются неизменными.

Для “звезды” : U₁₂ = I₁R₁ - I₂R₂

Для “треугольника”: U₁₂ = I₁₂R₁₂ U₂₃ = I₂₃R₂₃ U₃₁ = I₃₁R₃₁

I₁₂R₁₂ +I₂₃R₂₃ +I₃₁R₃₁ =0

По первому закону Кирхгофа:

-I₁₂ +I₂₃-I₂ =0 => I₂₃ = I₂+ I₁₂

-I₁-I₃₁+I₁₂ =0 => I₃₁ = I₁₂- I₁

По второму закону Кирхгофа:

I12R12 + I23R23 + I31R31 = 0

На основании первого закона выполним замену:

I₁₂R₁₂ + I₂R₂₃ + I₁₂R₂₃ + I₁₂R₃₁ - I₁R₃₁=0

Находим I₁₂ :

Анализируя последнее и предпоследнее выражения, легко заметить, что R1 и R2 соответственно равны:

R₁=R₃₁R₁₂/(R₁₂+R₂₃+R₃₁)

R₂=R₂₃R₁₂/(R₁₂+R₂₃+R₃₁)

Аналогично находится и R3 :

R₃=R₃₁R₂₃/(R₁₂+R₂₃+R₃₁)

13-14.Преобразование активного треугольника в активную звезду и обратно.(перенос источников тока)

Перенос источников в схеме истинно сочетается на практике с различными методами преобразований.

Ниже приведенные схемы демонстрируют порядок преобразования активного треугольника в активную звезду.

Под активным треугольником понимается контур, ветви которого соединены по схеме треугольника и содержат помимо резисторов источники э.д.с.

Под активной звездой понимается соединение ветвей по схеме звезды, лучи которой содержат резисторы и источники э.д.с.

На рис. 4,а представлена часть электрической цепи, соединенная по схеме треугольника, в ветвях которого включены источники э.д.с.

Рис.4. Преобразование активного треугольника в активную звезду.

На первом этапе (рис.4,б) преобразуем источники э.д.с. в источники тока: и , которые подключаются параллельно соответствующим ветвям с сопротивлениями R₁ и R₂.В результате такого преобразования сопротивления R₁-R₂-R₃ образуют пассивный треугольник, который преобразуем в эквивалентную звезду (рис.4,в).Затем, согласно правилу переноса источников тока в схеме, присоединяем их к узлам схемы так, как показано на рис.4,г.После эквивалентирования источников тока и преобразования их в источники э.д.с. получаем соединение сопротивлений по схеме звезды (рис.4,д).На рис.5,а изображена часть электрической цепи, соединенная по схеме звезды, лучи которой содержат источники э.д.с.

Рис.5. Преобразование активной звезды в активный треугольник.

Часть звезды между точками а-б-2 является пассивной, преобразуем ее в пассивный треугольник R₁₂-R₂₃-R₃₁ (рис.5,б). Затем, пользуясь правилом переноса источников э.д.с. в схеме, компенсируем источники э.д.с. E₁ и E₂ в ветвях 1-а и б-3 соответственно.

После соответствующего эквивалентирования источников э.д.с., получаем соединение сопротивлений по схеме треугольника (рис.5,г).