Решение систем нелинейных уравнений.

В зависимости от вида функции f(x) нелинейные уравнения подразделяются на два класса – алгебраические и трансцендентные.

f(x)=0 (2.1)

Уравнение (2.1) называется алгебраическим, если функция  f(x) является алгебраической функцией, если в уравнение есть x в какой-то степени. Алгебраическое уравнение всегда может быть представлено в канонической форме:

  f(x)= c₀ + c₁x + c₂x² + c₃x³ + ... + c_nxⁿ=0 (2.2)

где c₀  , c₁  ,…, c_n – коэффициенты уравнения. Показатель n называют степенью алгебраического уравнения.

Если функция f(x) содержит тригонометрические, показательные, логарифмические и другие функции, не являющиеся алгебраическими, то уравнение (2.1) называется трансцендентным. Примерами трансцендентных уравнений являются: 4*cos(x)=0 и т.д.

 

Численное решение систем линейных алгебраиче-ских уравнений. Метод Гаусса (схема полного исключения, сведение к треугольной матрице, проблема погрешности, схема главных элементов).

Под названием «метод Гаусса» фигурирует группа методов, объединенных идеей последовательного исключения неизвестных.

метод полного исключения неизвестных (Метод Жордана —Гаусса) — метод, который используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса.

Алгоритм

1. Выбирают первый слева столбец матрицы, в котором есть хоть одно отличное от нуля значение.

2. Если самое верхнее число в этом столбце есть ноль, то меняют всю первую строку матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.

3. Все элементы первой строки делят на верхний элемент выбранного столбца.

4. Из оставшихся строк вычитают первую строку, умноженную на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) ноль.

5. Далее проводят такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.

6. После повторения этой процедуры   раз получают верхнюю треугольную матрицу

7. Вычитают из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.

8. Повторяют предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получают единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).

9. Чтобы получить обратную матрицу, нужно применить все операции в том же порядке к единичной матрице.

Сведение к треугольной матрице.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Процесс приведения системы к треугольному виду называют прямым ходом метода Гаусса.

Нахождение неизвестных из треугольной системы называют обратным ходом метода Гаусса.

При вычислении определителей высокого порядка (больше 3-го)гораздо эффективнее использовать свойства определителей. Наиболее важными для вычисления определителей являются свойства:

1. Перестановка двух столбцов (строк) определителя приводит к изменению его знака на противоположный.

2. Умножение всех элементов одного столбца (строки) определителя на одно и то же число, отличное от нуля, приводит к умножению определителя на это число.

3. Прибавление к элементам одного столбца (строки) определителя соответствующих элементов другого столбца, умноженных на одно и то же число, не изменяет определитель.

При помощи элементарных преобразований можно упростить определитель, т.е. привести его к виду, удобному для вычислений.

Метод приведения определителя к треугольному виду

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к верхнему (или нижнему) треугольному виду (метод Гаусса). Отсюда следует, что любой определитель, используя перечисленные выше элементарные преобразования, можно привести к треугольному виду, а затем.

Итак, метод состоит из двух шагов.

1. При помощи элементарных преобразований привести определитель к треугольному виду.

2. Вычислить определитель треугольного вида, перемножая его элементы, стоящие на главной диагонали.

Проблема погрешности. Выбор начального приближения влияет на количество итераций, необходимых для получения приближенного решения.