Верные цифры.

Значащие цифры. в приближённых вычислениях, все цифры числа, начиная с 1-й слева, отличной от нуля, до последней, за правильность которой можно ручаться. Например, если измерение произведено с точностью до 0,0001 и дало результат 0,0320, то значащие цифры будут 320. Если дано число 520(точка) То благодаря точке мы знаем что значащих числа три, иначе чтобы избежать ошибок мы считали бы что их да (52).

Погрешности элементарных операций.

Предельная абсолютная погрешность суммы не превышает суммы предельных абсолютных погрешностей отдельных слагаемых.

Пример 1. Складываются приближённые числа 265 и 32. Пусть предельная погрешность первого есть 5, а второго 1. Тогда предельная погрешность суммы равна 5 + 1 = 6. Так, если истинное значение первого есть 270, а второго 33, то приближённая сумма (265 + 32 = 297) на 6 меньше истинной (270 + 33 = 303).

Предельная абсолютная погрешность разности не превышает суммы предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.

Пример 2. Пусть предельная погрешность приближённого уменьшаемого 85 равна 2, а предельная погрешность вычитаемого 32 равна 3.

Предельная погрешность разности 85 – 32 = 53 есть 2 + 3 = 5. В самом деле, истинные значения уменьшаемого и вычитаемого могут равняться 85 + 2 = 87 и 32 – 3 = 29. Тогда истинная разность есть 87 – 29 = 58. Она на 5 отличается от приближённой разности 53.

Предельная относительная погрешность произведения приближённо равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей.

Пример 1. Пусть перемножаются приближённые числа 50 и 20 и пусть предельная относительная погрешность первого сомножителя есть 0,4 %, а второго 0,5 %. Тогда предельная относительная погрешность произведения 50 × 20 = 1000 приближённо равна 0,9 %. В самом деле, предельная абсолютная погрешность первого сомножителя есть

50 × 0,004 = 0,2, а второго 20 × 0,005 = 0,1. Поэтому истинная величина произведения не больше (50+0,2)*(20+0,1)=1009,02 чем  и не меньше чем  (50-0,2)*(20-0,1)=991,02. Если истинная величина произведения есть 1009,02, то погрешность произведения равна 1009,02 – 1000 = 9,02, а если 991,02, то погрешность произведения равна 1000 – 991,02 = 8,98.

Деление приближённых чисел

Правило. Предельная относительная погрешность частного приближённо равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя.

Пример 1. Приближённое число 50,0 делится на приближённое число 20,0. Предельная погрешность делимого и делителя 0,05. Тогда предельная относительная погрешность делимого есть 0,05/50,0=0,1%,а предельная относительная погрешность делителя есть 0,05/20,0=0,25%.  Предельная относительная погрешность частного 50,0 : 20,0 = 2,50 должна составлять приблизительно

0,1 % + 0,25 % = 0,35 %.

Действительно, истинная величина частного не больше, чем

(50,0+0,05): (20,0 – 0,05) = 2,50877  

и не меньше, чем

(50,0 – 0,05) : (20,0 + 0,05) = 2,49127.

Если истинное значение частного есть 2,50877, то абсолютная погрешность составляет 2,50877 – 2,50 = 0,00877. Если же истинное значение есть 2,49127, то абсолютная погрешность составит 2,50 – 2,49127 = 0,00873.

Прямая и обратная задачи теории погрешностей.

Прямая задача теории погрешностей. Основная задача теории погрешностей состоит в том, чтобы определить по известным погрешностям параметров погрешность функции от этих параметров.

Обратная задача теории погрешностей и ее решение методом равных влияний

Обратная задача теории погрешностей состоит в том, чтобы определить с какой точностью необходимо задавать значения аргументов функции f=f(x₁,…,x_k), чтобы ее погрешность не превосходила заданной величины  ? Эта задача математически неопределенна, так как заданную погрешность   можно обеспечить при любом наборе предельных абсолютных погрешностей аргументов удовлетворяющих условию:

Простейшее решение обратной задачи дает принцип равных влияний, согласно кото- рому вклады всех аргументов в формирование абсолютной погрешности функции равны:

Отсюда

, где 

Иногда при решении обратной задачи по принципу равных влияний абсолютные погрешности отдельных аргументов оказываются настолько малыми, что вычислить или измерить эти величины с соответствующей точностью невозможно. В таком случае отступают от принципа равных влияний, чтобы увеличение погрешности одних переменных компенсировать уменьшением погрешности других.