§ 16*. Аксиоматическое построение теории определителей

Определитель п-го порядка является числом, однозначно опреде­ляемым данной квадратной матрицей n-го порядка. Определение этого понятия, приведенное в § 4, указывает правило, по которому определитель выражается через элементы заданной матрицы. Это конструктивное определение можно, однако, заменить аксиоматиче­ским; можно, иными словами, среди свойств определителя, устано­вленных в §§ 4 и 6, указать такие, что единственной функцией матрицы с действительными значениями, обладающей этими свой­ствами, будет ее определитель.

Простейшее определение такого рода состоит в использовании разложений определителя по строке. Рассматриваем квадратные мат­рицы любых порядков и предполагаем, что всякой такой матрице М поставлено в соответствие число d_M, причем выполняются следую­щие условия:

0. Если матрица М первого порядка, т. е. состоит из одного элемента а, то d_m~a.

1. Если первую строку матрицы я-го порядка М составляют эле­менты а_и, а₁₂, ..., а_1п и если через, M_{i = 1, 2, ...,п, обозна­чена матрица (п — 1)-го порядка, остающаяся после вычеркивания из М первой строки и t-ro столбца, то

^аХ2^Д1, +^Д13^Л1з •••'+( 1)” ^1а1п^ль, •

Тогда для всякой матрицы М число d_M равно определителю этой матрицы. Мы предобтавляем читателю доказательство этого утверждения, проводящееся индукцией по л и использующее результаты § 6.

Много более интересны другие формы аксиоматического опреде­ления определителя, относящиеся к случаю лишь одного данного порядка л и имеющие в своей основе некоторые из установленных в § 4 простейших свойств определителя. Мы приступим сейчас к рассмотрению одного из таких определений.

Пусть всякой квадратной матрице М л-го порядка поставлено в соответствие число &_т причем выполняются следующие условия:

0. Если одна из строк матрицы М умножается на число ft, то число d_M также умножается на к.

1. Число dm не меняется, если к одной из строк матрицы м прибавляется другая строка этой матрицы.

2. Если Е—единичная матрица, то d_E= 1.

Докажем, что для любой матрицы М ч&сло d_M равно опреде­лителю этой матрицы.

Выведем сначала из условий 1—111 некоторые свойства числа d_M, аналогичные соответствующим свойствам определителя.

7. Если одна из строк матрицы М состоит из нулей, то dм~0-

В самом деле, умножая строку, состоящую из нулей, на число 0, мы не медяем матрицу, но, ввиду условия I, число d_M приобре­тает множитель 0. Поэтому

d_M=0'd_M=0.

8. Число d_M не меняется, если к i-й строке матрицы М прибавляется ее j-я строка, j^i, умноженная на число k.

Если ft—0, то все доказано. Если же ft =5^ 0, то умножаем j-ю строку на ft и получаем матрицу М’, для которой, ввиду условия I, dM' — kd_M. Затем к г-й строке матрицы М' прибавляем ее /-ю строку и получаем матрицу М", причем, ввиду условия 11, d_M"^=d_M‘. Наконец, умножаем j-ю строку матрицы М" на число ft^-1. Мы приходим к матрице М"', которая в действительности получена из Ж преобразованием, указанным в формулировке доказываемого свой­ства, причем

d-’ ’ ’ —— k " — ft ^Ai ’ -— ft ^ * ft —‘

9. Если строки матрицы M линейно зависимы, то d_fl= 0.

Действительно, если одна из строк, например г'-я, будет линей­ной комбинацией других строк, то, применяя несколько раз пре­образование (2), можно г-ю строку заменить строкой из нулей. Преобразование (2) не меняет числа d_M, а поэтому ввиду свой­ства (1) d_m=0.

0. Если i-я строка матрицы М является суммой двух век­торов Р и у и если матрицы М' и М" получены из матрицы М заменой ее i-й строки соответственно векторами $ и у, то

^м' dM".

В самом деле, пусть S будет система всех строк матрицы М, кроме i-й. Если в S существует линейная зависимость, то линейно зависимы строки каждой из матриц М, М и М”, а поэтому, по свойству (3), dj_l = dM’ = dM" = 0, откуда следует справедливость в этом случае доказываемого свойства. Если же система S, состоя­щая из п — 1 вектора, линейно независима, то, как показывают результаты § 9, ее мэжно дополнить некоторым вектором а до макси­мальной линейно независимой системы векторов л-мерного вектор­ного пространства. Через эту систему можно линейно выразить век­торы р и у. Пусть вектор а входит в эти выражения с коэффициен­тами k и, соответственно, /; в выражение для вектора p+Yi ^т- ^е- для i-й строки матрицы М, вектор а будет входить, следовательно, с коэффициентом А + /. Матрицы М, М' и М” можно теперь пре­образовать, вычитая из их i-x строк некоторые линейные комбина­ции других строк так, что их i-ми строками будут служить соот­ветственно векторы (& + /) а, /га и /а. Поэтому, обозначая через М° матрицу, получающуюся из матрицы М заменой ее i-й строки век­тором а, и учитывая свойства (2) и I, мы приходим к равенствам:

~ "Ь 0 ^м<>, dM’. = kdM<>, dM" = ldMⁱ>-

Этим свойство (4) доказано.

0. Если матрица М получена из матрицы М транспозицией двух строк, то d^ = —d_M.

Пусть, в самом деле, в матрице М нужно переставить строки с номерами i и Этого можно достичь цепочкой следующих пре­образований: сначала к i-й строке матрицы М прибавляем ее /-ю строку и получаем матрицу М', причем, по условию IF, du' — d^. Затем из /-й строки матрицы М вычитаем ее i-ю строку и прихо­дим к матрице М", для которой, ввиду свойства (2), будет d_M'' — d_M'', j-я строка матрицы М" будет отличаться знаком от i-й строки матрицы М. Прибавим теперь к i-й строке матрицы М" ее у'-ю строку. Для матрицы М'", которую мы получим этим преобразова­нием, будет, по условию II, = причем i-я строка этой матрицы совпадет с /-й строкой матрицы М. Умножая, наконец, j-ю строку матрицы М" на число —1, мы придем к искомой мат­рице Ж. Поэтому, ввиду условия I,

0. Если матрица М' получена из матрицы М перестановкой строк, причем i-й строкой матрицы М', i — 1, 2, ..., п, служит а₍-я строка матрицы М, то

dw — i jj

при этом знак плюс соответствует случаю, когда подстановка

четна, знак минус—случаю, когда она нечетна.

В самом деле, матрица М' может быть получена из матрицы М некоторым числом транспозиций двух строк, и поэтому можно вос­пользоваться свойством (5). Четность числа этих транспозиций опре­деляет, как известно из § 3, четность указанной выше подстановки.

Рассмотрим теперь матрицы М= (а^), N — (£,-,) и их произведе­ние Q = MN в смысле § 13. Найдем число d§. Мы знаем, что вся­кая i-я строка матрицы Q является суммой всех строк матрицы N, взятых соответственно с коэффициентами а_п, a_i2, a_in (см., на­пример, § 14). Заменим все строки матрицы Q их указанными ли­нейными выражениями через строки матрицы N и воспользуемся несколько раз свойством (4). Мы получим, что число d_Q будет равно сумме чисел d_T для всевозможных матриц Г следующего вида: i-я строка матрицы Т, i — 1, 2, п, равна а_гй строке матрицы N, умноженной на число а_т. При этом ввиду свойства (3) можно исклю­чить из рассмотрения все матрицы Т, для которых существуют такие индексы i и у, i=/=j, что а₍ = ау, остаются, иными словами, лишь такие матрицы Т, для которых индексы а_1; а₂, составляют

перестановку чисел 1, 2, п. Ввиду свойств 1 и (6) число d_T для такой матрицы имеет вид

dт— i ^axa_I^am₁ • • • ^апа_Л dpj,

где знак определяется четностью подстановки из индексов. Отсюда мы приходим к выражению для числа dпосле вынесения за скобки из всех слагаемых вида d_T общего множителя d_N в скобках остается, очевидно, определитель \М\ матрицы М в смысле конструктивного определения, данного в § 4, т. е.

d_Q^\M\.d_N.

Если мы возьмем теперь в качестве матрицы N единичную мат­рицу Е, то будет Q = M и, по свойству Ш, d_N=d_E= 1, т. е. для любой матрицы М имеет место равенство

что и требовалось доказать. Одновременно еще раз, при­том без использования теоремы Лапласа, доказана

теорема об умножении определителей: для этого до­статочно в .равенстве (*) заменить числа d_Q и d_N определителями соответствующих матриц.

Закончим эти аксиоматические рассмотрения доказательством независимости условий 1—III, т. е. доказательством того, что ни одно из этих условий не является следствием двух других.

Для доказательства независимости условия III положим, что d_M = 0 для всякой матрицы М л-го порядка. Условия I и II будут, очевидно, выполняться, условие же III нарушается.

Для доказательства независимости условия II положим, что для всякой матрицы М число d_M равно произведению элементов, стоя­щих на главной диагонали этой матрицы. Условия I и III выпол­няются, а условие И уже не имеет места.

Наконец, для доказательства независимости условия I положим, что d_M=\ для всякой матрицы М. Условия II и III будут при этом выполняться, а условие I нарушается.