§ 11. Системы линейных уравнений

Мы переходим к изучению произвольных систем линейных урав­нений, причем уже не делаем предположения, что число уравнений системы равно числу неизвестных. Наши результаты будут, впрочем, применимы и к тому случаю (оставленному в § 7 без рассмотрения), когда число уравнений равно числу неизвестных, но определитель системы равен нулю.

первую строку на число

Пусть дана система линейных уравнений

«11*1 + 012*2+ •• • +e_lBx_e = 0i,

^агА + ^а22*2 + • • • + ^аы^хп —

^asl^X 1 + ^а,2*2 + • • • + ^п^Хп = Ь'.

Как мы знаем из § 1, прежде всего следует решить вопрос о сов­местности этой системы. Для этой цели возьмем матрицу А из коэф­фициентов системы и «расширенную» матрицу А, полученную при­соединением к А столбца из свободных членов,

/^й11 ^а12 • ■ ■ ^aln

А = I ^в21 ^й22 • • • ^а2п ^2 I

1 •’

\а_а a_s2 ... a_sn b_s/

и вычислим ранги этих матриц. Легко видеть, что ранг матрицы А либо равен рангу матрицы А, либо на единицу больше последнего. В самом деле, берем некоторую максимальную линейно независимую систему столбцов матрицы А. Она будет линейно независимой и в ма­трице А. Если она сохраняет и свойство максимальности, т. е. столбец из свободных членов через нее линейно выражается, то ранги матрицы А и Л равны; в противоположном случае, присоединяя к этой системе столбец из свободных членов, мы получаем линейно неза­висимую систему столбцов матрицы А, которая будет в ней макси­мальной.

Вопрос о совместности системы линейных уравнений полностью решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера — Капелли. Система линейных урав­нений (1) тогда и только тогда совместна, когда ранг расши­ренной матрицы А равен рангу матрицы А.

Доказательство. 1. Пусть система (1) совместна и пусть k_lt k₂, ...,k_n будет одним из ее решений. Подставляя эти числа вместо неизвестных в систему (1), мы получим s тождеств, которые показывают, что последний столбец матрицы А является суммой всех остальных столбцов, взятых соответственно с коэффициентами k_x, k₂, ..., k_n. Всякий другой столбец матрицы А входит и в матрицу А и поэтому линейно выражается через все столбцы этой матрицы. Обратно, всякий столбец матрицы А является столбцом и в А, т. е. линейно выражается через столбцы этой матрицы. Отсюда следует, что системы столбцов матриц А и А эквивалентны между собой, а поэтому, как доказано в конце § 9, обе эти системы s-мер­ных векторов имеют один и тот же ранг; иными словами, ранги матриц А и А равны между собой.

2. Пусть теперь дано, что матрицы А и А имеют равные ранги. Отсюда следует, что любая максимальная линейно независимая си­стема столбцов матрицы А остается максимальной линейно независи­мой системой и в матрице А. Таким образом, через эту систему, а поэтому и вообще через систему столбцов матрицы А, линейно выражается последний столбец матрицы А. Существует, следова­тельно, такая система коэффициентов k_lt k₂, k_n, что сумма столбцов матрицы А, взятых с этими коэффициентами, равна столбцу из свободных членов, а потому числа k_lt k₂, ..., k_n составляют решение системы (1). Таким образом, совпадение рангов матриц Л и А влечет за собой совместность системы (1).

Теорема полностью доказана. При ее применении к конкретным примерам необходимо вычислить сперва ранг матрицы А, для чего найти один из тех отличных от нуля миноров этой матрицы, что все миноры, его окаймляющие, равны нулю; пусть это будет минор М. После этого следует вычислить все миноры матрицы А, окаймляю­щие М, но в А не содержащиеся (так называемые характеристи­ческие определители системы (1)). Если они все равны нулю, то ранг матрицы А равен рангу матрицы А и потому система (1) сов­местна, в противоположном случае она несовместна. Таким образом, теореме Кронекера—Капелли можно дать такую формулировку: си­стема линейных уравнений (1) тогда и только тогда сов­местна, если все ее характеристические определители равны нулю.

Предположим теперь, что система (1) совместна. Теорема Кронекера—Капелли, при помощи которой мы устанавливаем совме­стность этой системы, утверждает существование решения; она не дает, однако, никакого способа для практического разы­скания всех решений системы. К этой задаче мы сейчас переходим.

Пусть матрица А имеет ранг г. Как доказано в предшествующем параграфе, г равно максимальному числу линейно независимых строк матрицы А. Пусть, для определенности, первые г строк матрицы А линейно независимы, а каждая из остальных будет их линейной комбинацией. Тогда первые г строк матрицы А также будут линейно независимыми: всякая линейная зависимость между ними была бы линейной зависимостью и между первыми г строками матрицы А (вспомнить определение сложения векторов!). Из совпадения рангов матриц АиА следует, далее, что первые г строк матрицы А составляют в ней максимальную линейно независимую систему строк, т. е.вся­кая другая строка этой матрицы будет их линейной комбинацией.

Отсюда следует, что всякое уравнение системы (1) можно пред­ставить как сумму первых г уравнений, взятых с некоторыми коэф­фициентами, а поэтому любое общее решение первых г уравнений

будет удовлетворять всем уравнениям системы (1). Достаточно, сле­довательно, найти все решения системы

^а11^Х1 4“ ^а12^Х2 4“ • • • ^а1 п^Хп ~ ^1! ^а21^Х1 4" ^а22^Х2 4~ • ■ • 4" ^а2п^Хп ⁼ ^2>

^аг1^Х1 4“ ^аг2^Х2 Ь • • • 4~ ^агп^Хп ~ Ь_г-

Так как строки из коэффициентов при неизвестных в уравне­ниях (2) линейно независимы, т. е. матрица из коэффициентов имеет ранг г, то г<яи, кроме того, хотя бы один из миноров г-го по­рядка этой матрицы отличен от нуля. Если г = /г, то (2) будет системой с равным числом уравнений и неизвестных и с отличным от нуля определителем, т. е. она, а потому и система (1), обладает един­ственным решением, а именно — вычисляемым по правилу Крамера.

П)Сть теперь г<Сп и пусть, для определенности, отличен от нуля минор г-го порядка, составленный из коэффициентов при пер­вых г неизвестных. Перенесем в каждом из уравнений (2) в правую часть все члены с неизвестными х_{г + ъ} х_п и выберем для этих неизвестных некоторые значения с_г+1, ..., с_п:Мы получим систему г уравнений

^an^xi 4" ^а\2^х2 4~ • • • 4- ^au^xr ⁼ b₁ — a_{lt Г+1}с_Г+1 ... — а_1пс_п, ^а21^Х1 "4~ ^а22^Х2 4- • - • 4- ^а2г^Хг~ ^2 ^а2, г + 1^Сг + 1 • * * ^Я2п^Сш

+ ^аг2^х2 + • • • 4- a_rrx_r = b_r — a_{rt r+1}c_r+1- ... — a_rnc_n

относительно г неизвестных х_г, х₂, ...,х_г. К этой системе приме­нимо правило Крамера, и поэтому она обладает единственным реше­нием с-у, с₂, ..., с_г; очевидно, что система чисел с_г, с₂, ..., с_п с_г+1, ..., с_п будет служить решением системы (2). Так как значения с_г+1, ...,с_п для неизвестных х_{г + 1}, ..., х_п, называемых свободны­ми неизвестными, мы могли выбирать произвольным образом, то этим путем будет пол учено бесконечно многоразличных решений системы (2).

С другой стороны, всякое решение системы (2) может быть по­лучено указанным путем: если дано некоторое решение с_ъ с₂, ..., с_п системы (2), то в качестве значений для свободных неизвестных берем числа с_г+1, ..., с_п. Тогда числа с_х, с₂, • •., с_г будут удовле­творять системе (3) и поэтому будут составлять то единственное решение этой системы, которое вычисляется по правилу Крамера.

Все сказанное выше объединяется в виде следующего правила решения произвольной системы линейных урав­нений:

Пусть дана совместная система линейных уравнений (1) и пусть матрица из коэффициентов А имеет ранг г. Выбираем в А г линейно независимых строк и оставляем в системе (1)

лишь уравнения, коэффициенты которых вошли в выбранные строки. В этих уравнениях оставляем в левых частях такие г неизвестных, что определитель из коэффициентов при них от­личен от нуля, а остальные неизвестные объявляем свободными и переносим в правые части уравнений. Давая свободным неиз­вестным произвольные числовые значения и вычисляя значения остальных неизвестных по правилу Крамера, мы получим все решения системы (1).

Дополнительно еще раз формулируем следующий полученный нами результат:

Совместная система (1) тогда и -только тогда обладает единственным решением, если ранг матрицы А равен числу не­известных.

Примеры. 1. Решить систему

Ранг матрицы из коэффициентов равен двум: минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу этой матрицы, отличен от нуля, но оба минора третьего порядка, его окаймляющие, равны нулю. Ранг расширенной матрицы равен трем, так как

5—17

2 1 1 =— 35 #0.

0. —3 0

Отсюда следует, что система несовместна.

1. Решить систему

Раиг матрицы из коэффициентов равен двум, т. е. равен числу неизвест­ных; ранг расширенной матрицы также равен двум. Таким образом, система совместна и обладает единственным решением. Левые части первых двух уравнений линейно независимы; решая систему этих двух уравнений, мы получим для неизвестных значения

Система совместная, так как ранг расширенной матрицы, как и ранг матрицы из коэффициентов, равен двум. Левые части первого и третьего уравнений линейно независимы, так как коэффициенты при неизвестных х_г

5

*1—17.

Легко видеть, что это решение удовлетворяет и третьему уравнению. 3. Решить систему

и x_s составляют отличный от нуля минор второго порядка. Решаем систему из этих двух уравнений, причем неизвестные x₃,x_it х_ъ считаем свободными, переносим в правые части уравнений и предполагаем, что им уже приданы некоторые числовые значения. Мы получим, применяя правило Крамера:

5,1 3 ^Х1^ 4 "Ь 4 ^хз ^ ^xi ^хь>

¹ , ⁷ , ^{7 х}2 = — *⁸ ^~7 *⁴'

Эти равенства определяют общее решение заданной системы: давая в них свободным неизвестным произвольные числовые значения, мы получим все решения нашей системы. Так, решениями нашей системы будут, например,

векторы (2, 5, 3, G, 0), (3, 5, 2, 1, —2), ^0, —, —1, 1, и т. д. С другой

стороны, подставляя выражения для х₁ и х_% из общего решения в любое из уравнений системы, например во второе, ранее исключенное из рассмо­трения, мы получим тождество.

0. Решить систему

4*i+ х₃—2*₃+ *₄ = 3, х₁—2х₃— «3 + 2*4= 2,

2*! +5jc₂ — *₄ = —1,

+ 3#2 *3 3*4 ^==а 1.

Хотя число уравнений равно числу неизвестных, но определитель системы равен нулю и поэтому правило Крамера неприменимо. Ранг матрицы из коэффициентов равеи трем—в правом верхнем углу этой матрицы располо- . жен отличный от нуля минор третьего порядка. Ранг расширенной матрицы также равен трем, т. е. система совместна. Рассматривая лишь первые три уравнения и считая неизвестное *_х свободным, мы получим общее решение в виде

12 8,9

*2— g" g^{- Х}1' ^Х3— —+ ^Х1> #4 — 0-

0. Пусть дана система, состоящая из п +1 уравнений относительно п неизвестных. Расширенная матрица А этой системы будет квадратной порядка п+1. Если наша система совместна, то, по теореме Кронекера—Капелли, определитель матрицы А должен быть равный нулю.

Так, пусть дан? система

*i—8*2=» 3,

2*1+ *2“ 1,

4*!+ 7*₂ = —4.

Определитель из коэффициентов и свободных членов этих уравнений отличен от нуля!

2. —8 3

3. 1 1 4 7—4

поэтому система несовместна.

Обратное утверждение не будет, вообще говоря, справедливым! из равенства нулю определителя матрицы А не следует совпадение рангов матриц А и А.

^; —77,