Заняття 1. Тема: Похідна функції. Основні поняття.

Означення. Похідною функції у = f(х) називають границю відношення приросту функції до приросту аргументу, якщо приріст аргументу прямує до нуля:

у′ = .

Знаходження похідної називають диференціюванням функції.

Похідну функції позначають y′ або , або f′(x).

Властивості (правила знаходження) похідної:

1. (Cu)′ = Cu′ ;

2. (u+v-w)′ = u′+v′-w′ ;

3. (uv)′ = u′v+uv′ ;

4. 

Таблиця похідних основних елементарних функцій :

2. (С)′ = 0 , (С = const);

3. (х)′ = 1;

4. 

5. ;

6. ;

7. ;

8. ( )′ = ;

9. ;

10. ;

11. ( )′ = ;

12. ( )′ = - ;

13. (tg x)′ = ;

14. (ctg x)′ = - ;

15. (arctg x)′ = ;

16. (arcctg x)′ = - ;

17. (arcsin x)′ = ;

18. (arccos x)′ = - .

Приклади:

Знайти похідні функцій:

1. у = 4х⁵ + - 8 -16;

у = 4х⁵ + - 8 -16 = 4х⁵ + х^-6 - 8 - 16;

у′ = 4 х^5-1 + (-6х^-6-1) - 8 = 20х⁴ – х^-7 - 6 = 20х⁴ - - ;

2. у = (х³ – 2х – 11) ;

у ′ = (х³ – 2х – 11)′ + (х³ – 2х -11) = (3х² – 2) +

(х³ - 2х – 11) = (3х² -2) arctg x + ;

3. у = ;

у′ = = =

= = .

Завдання для роботи в аудиторії:

Знайти похідну функції:

2. y = 2х^{3 _} 5х² + 7х - 12;

3. y = х - х² + х³ - х⁴;

4. y = 2 - + 8;

5. y = 6 + 5 - 7 ;

6. y = tgx – ctgx ;

7. y = + - ;

8. y = (х² – 2х + 6) ;

9. y = (8х⁵ – 3х + х⁴) ;

10. y = ;

11. y = ;

12. y = ( - ;

13. у = ;

14. у = ;

15. у = x² ;

16. у = х arctg х .

17. у = arctg x ;

18. у = ;

19. у = ;

20. у = ;

21. у = х³ ( - 4) .

Домашнє завдання:

Знайти похідні функцій:

2. у = х⁴ – 4х⁶ + 9х⁵ + 2х⁷ – 2х – 42 ;

3. у = - + ;

4. у = 15 - 3 + + ;

5. у = - - + 0,75 ;

6. у = ;

7. у = (х² – 3х + 3)(х² +2х – 1) ;

8. у = ;

9. у = ;

10. у = ;

11. у = (2х³ + 3) arccosx .

Заняття 2 Тема: Похідна складної функції.

Якщо у = f(u) і u = (х) – диференційовані функції своїх аргументів, то похідна функції від функції (або складної функції) у = f( (x)) існує і дорівнює добутку похідної даної функції у по аргументу (х) і похідної (х) по х: у′=f′( (х)) ′(х).

Таблиця похідних складних функцій:

1. (uⁿ)′ = nu^n-1 u;

2. ( ′ = - ;

3. ( )′ = ;

4. ( )′ = ;

5. ( )′ = ;

6. )′ = ;

7. )′ = ;

8. )′ = - u′ ;

9. (tg u)′ =

10. ctg u)′ = - ;

11. (arcsin u)′ = ;

12. (arccos u)′ = - ;

13. (arctg u)′ = ;

14. (arcctg u)′ = - .

Приклад:

Знайти похідну функції у = ;

у ′ = - = - - (10х – 3) = - .

Завдання для роботи в аудиторії:

Знайти похідні функцій:

2. у = ;

3. у = ;

4. у = ;

5. у = ;

6. у = ( )²;

7. у = (2х³ + 3х² + 6х +1)⁴ ;

8. у = ;

9. у = (7 + )³ ;

10. у = ) ;

11. у = ;

12. у = ( + ( )²)³ ;

13. у = ;

14. у = ;

15. у = ;

16. у = ( )⁵ ;

17. y = ( – )⁴;

18. y = ;

19. y = ( + ))⁶ ;

20. y = - ;

21. y=

Домашнє завдання:

Знайти похідні функцій:

2. у = (2 – 3х)⁵ ;

3. у = ( )² ;

4. у = ;

5. у = ;

6. у = ;

7. у = ;

8. у = ( - )⁵ ;

9. у = ;

10. у = х + + ;

11. у = .

Заняття 3 Тема: Похідні неявних функцій і функцій,заданих параметрично.

Похідна функції у = .

Функція у(х) називається неявною, якщо залежність між х і у виражена рівнянням F(х;у) = 0. Щоб знайти похідну від неявної функції, треба дане рівняння продиференціювати, вважаючи у функцією від х, і отримане після цього рівняння розв’язати відносно похідної у ′.

Приклад:

Знайти похідну функції х²у³ - + 3 = 0.

2ху³ + 2х²у²у ′ - 2 = 0 ;

2х²у²у ′ = 2 - 2ху³ ;

у′ = = ;

Якщо функція задана параметрично:, де х(t) і у(t) –

диференційовані функції,то її похідна: у′(х) = .

Приклад:

Знайти похідну функції

х ′(t) = , у′(t) = 3 - 3 t² = 3(1 – t²) ;

у′(х) = = 3(1 – t²) .

Похідна степенево-показникової функції у = , де u і v – диференційовані функції від х, знаходиться за формулою:

у′ = v u′ +

Приклад:

Знайти похідну функції у = .

у′ = (- ) + = )+ + ) = ( – tg х).

Завдання для роботи в аудиторії:

Знайти похідні функцій:

2. х² + 5ху + у² – 7 = 0;

3. у² + ху + = 0;

4. + ху – 5 = 0;

5. х⁴ + у⁴ = х²у²;

6. у³ + = 0;

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. у = ;

13. у = ;

14. у = ;

15. у = ;

16. у = .

Домашнє завдання:

Знайти похідні функцій:

2. х³у³ – 2ху +3 = 0;

3. – arctgу = 0;

4. 2 + tgх - = 0;

5. х = ctg t, у = ;

6. 

7. у = ;

8. у = ;

9. у = ;

10. у =

Заняття 4 Тема: Похідні вищих порядків. Диференціал функції.

Похідною другого порядку або другою похідною функції у = f(х) називається похідна від її похідної: у′′ = (f′(х))′ . Позначається: у′′ або f′′(х) або .

За аналогією визначаються і позначаються похідні третього, четвертого і вищих порядків: у′′′, ,…,

Для функції, заданої параметрично, похідна другого порядку знаходиться за формулою: у′′(х) = .

Приклади:

1. Знайти похідну третього порядку функції: у = х² .

у′ = (х² = 2х + х² = 2х + х ;

у′′ = (2х +х)′ = 2 + 2х +1 = 2 + 2 +1 = 2 +3;

у′′′ = (2 +3)′ = 2 = .

2. Знайти похідну другого порядку функції: х = 2 t - , у=8 .

х′(t) = 2 - 2 = 2(1 - ) = 2 2 = 4 ;

х′′(t) = 4 2 = 8 ;

у′(t) = 24

у′′(t) = 24(2 - ) = 24 - =

= 24 ( - 1 + ) = 24 (3 ;

у′′(х) = =

= = = - = - .

3. Знайти , якщо

Знаходимо послідовно першу, другу і третю похідні:

Диференціалом функції у = f(х) називається добуток її похідної на приріст незалежної змінної: dу = у′ або dу = у′dх, так як = dх. Із цієї формули отримуємо, що у′ = f′(х) = .

Приклади:

1. Знайти диференціал функції: у = .

у′ = 3 = 3 ;

dу = 3 dх .

2. Обчислити диференціали першого, другого та третього порядків функції

3. Обчислити наближене значення площі круга, радіус якого рівний 3,02 м.

Скористаємося формулою Покладаючи маємо

І тому наближене значення площі круга складає

Завдання для роботи в аудиторії:

І. Знайти другу похідну функцій:

1. у = 4х² – 2х + 3;

2. у = ;

3. у = (1 + х²) х;

х = t , у = t ;

4. х = , у = ;

5. х = , у = .

ІІ. Знайти похідні вказаних порядків:

1. у = х⁵ + 6х² – 5х + 8, у⁽⁵⁾ - ?

2. у = , у′′′ - ?

3. y = x² , y⁽⁴⁾ - ?

4. y = , y′′ - ?

5. y = , y⁽⁵⁾ - ?

ІІІ. Знайти диференціали функцій:

1. у = arcctg4х;

2. у = ;

3. у = ;

4. у = ;

5. у = .

Домашнє завдання:

І. Знайти похідні вказаних порядків:

1. у = х⁵ – 4х⁴ + 2х³ – 3х² + 7х – 9, у⁽⁴⁾ - ?

2. у = , у′′ - ?

3. у = (3х + 10)⁶, у′′′ - ?

4. у = х , у′′ - ?

5. х = t³ + 1, у = t² + t + 1, у′′(х) – ?

6. х = , у = t - arcctg t, у′′(х) – ?

ІІ. Знайти диференціали функцій:

1. у = (х² + 4х + 1)(х² - );

2. у = ;

3. у = ;

4. у = 3х² - 4 + .

Заняття 5 Тема: Застосування похідної та диференціалу функції.

Правило Лопіталя-Бернуллі: Границя відношення двох нескінченно малих або нескінченно великих функцій дорівнює границі відношення їх похідних, якщо така границя існує або дорівнює нескінченності:

=

Приклад:

Обчислити границю функції:

1) =( ) = = = 3х³ = 3.

2) .

Позначимо у = ( і прологарифмуємо обидві частини отриманої

рівності: = = ;

Знайдемо границю : = = - = - =

= - = = ( ) = 1 = 0.

Звідси: у = = 1.

Наближені обчислення за допомогою диференціалу.

Для наближених обчислень використовують формулу:

f(х₀ + х) f(х₀) + f′(х₀) х, де х = х₁ – х₀ .

Приклад: Обчислити .

Розглянемо функцію f(х) = .

За умовою х₁ = 26. Нехай х₀ = 27. Тоді х = 26 – 27 = - 1.

f′(х) = ( )′ = = ; f′(х₀) = f′(27) = = = ;

f(х₀) = f(27) = = 3;

= f(26) = 3 + (-1) = 3 - 2,96.

Завдання для роботи в аудиторії:

І. Обчислити границі функцій:

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. - ) ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. .

ІІ. Обчислити наближено:

2. у = х³ + х² при х = 2,01;

3. у = при х = 2,9;

4. у = при х = 3,02;

5. ;

6. 0,98;

7. (3,03)⁵.

Домашнє завдання:

І. Обчислити границі функцій:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

ІІ. Обчислити наближено:

2. у = х² + 4х – 3 при х = 1,99;

3. у = при х = 2,1;

4. у = при х = 3,15;

5. ;

6. 1,03;

7. ⁰.

Заняття 6 Тема: Монотонність та екстремум функції. Найбільше та найменше значення функції на проміжку.

Функція у = f(х) називається зростаючою на деякому проміжку, якщо для будь-яких точок х₁ і х₂ з цього проміжку з нерівності х₁ х₂ слідує нерівність f(х₁) f(х₂).

Функція у = f(х) називається спадаючою на деякому проміжку, якщо для будь-яких точок х₁ і х₂ з цього проміжку з нерівності х₁ х₂ слідує нерівність f(х₁) f(х₂).

Проміжки зростання та спадання функції називають проміжками монотонності функції.

Достатня умова зростання (спадання) функції: якщо на деякому проміжку похідна даної функції додатна (у′ 0), то функція зростає на цьому проміжку, якщо ж вона від’ємна (у′ 0), то функція спадає на цьому проміжку. Якщо в деякій точці х = х₀ похідна функції дорівнює нулю і при переході через цю точку міняє знак з на - , то f(х₀) – точка максимуму (якщо з на ,то f(х₀) - точка мінімуму).

Максимум і мінімум функції називаються екстремумом функції.

Нехай f′(х₀) = 0 і в околі точки х₀ існує скінченна перша похідна, а в самій точці х₀ друга похідна f′′(х₀), тоді :

1. якщо f′′(х₀) 0, то в точці х₀ буде мінімум функції;

2. якщо f′′(х₀) 0, то в точці х₀ буде максимум функції;

3. якщо f′′(х₀) = 0, то це правило не дає висновків.

Приклад. Знайти проміжки монотонності та екстремуми функції:

у = х³ – х² – 3х + 2.

1. Область визначення: D(у) = (- ; + ).

2. Знайдемо похідну функції: у′ = х² – х – 3.

3. Знайдемо критичні точки функції: х² – х – 3 = 0; х₁ = - 1, х₂ = 3.

4. Зобразимо знайдені значення на числовій прямій і визначимо знак першої похідної на отриманих проміжках:

Отже, функція зростає при х (- ; - 1)ᴜ(3; + ),

функція спадає при х (- 1; 3).

Точки екстремуму:

у_max= у(- 1) = - - 1 + 3 + 2 = 3 ;

у_min = у(3) = 9 – 9 – 9 + 2 = - 7.

Приклад. Знайти найбільше та найменше значення функції

у = 2х³ – 3х² + 2 на проміжку .

1. Знайдемо критичні точки даної функції:

у′ = 6х² – 6х; 6х² – 6х = 0; 6х(х – 1) = 0; х₁ = 0 або х₂ = 1.

2. Знайдемо значення функції на кінцях проміжку і в критичних точках, які належать цьому проміжку:

у₁ = у(- ) = - - + 2 = ;

у₂ = у(2) = 16 – 12 + 2 = 6;

у₃ = у(0) = 2;

у₄ = у(1) = 2 – 3 + 2 = 1.

Отже, найменше значення функції на заданому проміжку: у₄ = 1,

найбільше значення: у₂ = 6.

Завдання для роботи в аудиторії:

І. Знайти проміжки зростання та спадання функції:

1. у = х² + х + 1;

2. у = х³ + 3х² + 3х + 1;

3. у = х⁴ – 4х² + 5;

4. у = ;

5. у = х² ;

ІІ. Дослідити на екстремум функції:

1. у = 2х³ – 3х²;

2. у = 2х³ – 6х² – 18х + 7;

3. у = х⁴ + 4х³ – 2 х² – 12х + 5;

4. у = ;

5. у = - х² .

ІІІ. Знайти найбільше та найменше значення функції на проміжку:

1. у = х³ + 3х – 5, ;

2. у = 2х³ – 5х² + 7х - 3, ;

3. у = х⁵ – 5х⁴ + 5х³ +1, :

4. у = , ;

5. у = , .

Домашнє завдання:

І. Знайти проміжки зростання і спадання та екстремум функції:

1. у = 2х³ – 4х² + 3;

2. у = 5х² – х⁴ – 6;

3. у = ;

4. у = ;

5. у = х² .

ІІ. Знайти найбільше та найменше значення функції на проміжку:

1. у = х³ – 3х² + 6х – 2, ;

2. у = , ;

3. у = - х,

Заняття 7 Тема: Напрям угнутості кривої. Точки перегину. Асимптоти кривої.

Графік функції у = f(х) називається угнутим на проміжку (a ; b), якщо відповідна дуга кривої розміщена вище дотичної, проведеної в будь-якій точці цієї дуги.

Графік функції у = f(х) називається опуклим на проміжку (a ; b), якщо відповідна дуга кривої розміщена нижче дотичної, проведеної в будь-якій точці цієї дуги.

Точкою перегину неперервної кривої називається така її точка М₀, при переході через яку крива міняє свою опуклість на угнутість і навпаки.

Достатня умова опуклості (угнутості) кривої: якщо друга похідна f′′(х) функції у = f(х) додатна на проміжку (a ; b), то графік цієї функції угнутий на цьому проміжку. Якщо друга похідна f′′(х) від’ємна на проміжку (a ; b), то графік функції опуклий на цьому проміжку.

Достатня умова існування точки перегину графіка функції: якщо друга похідна f′′(х) функції у = f(х) в точці х₀ рівна нулю і міняє знак при переході через цю точку, то М(х₀; f(х₀)) – точка перегину графіка цієї функції.

Приклад. Дослідити функцію на напрям угнутості та знайти точки перегину: у= - 6х⁵ + х⁴ + 3х.

Область визначення функції: D(у) = (- ; + ).

Знайдемо похідні даної функції:

у′ = 6х⁵ – 30х⁴ + 30х³ + 3;

у′′ = 30х⁴ – 120х³ + 90х² = 30х²(х² – 4х + 3).

Прирівняємо отриману похідну до нуля і розв’яжемо отримане рівняння:

30х²(х² – 4х + 3) = 0 30х² = 0 або х² - 4х + 3 = 0.

Звідси: х_1,2 = 0, х₃ = 1, х₄ = 3.

+ + - +

0 1 3

Отже, графік функції угнутий при х (- ; 1) (3; + ,

графік функції опуклий при х (1; 3).

Точки перегину функції:

у(1) = 1 – 6 + + 3 = 7,5 – 2 = 5,5.

у(3) = 729 – 1458 + 607,5 + 9 = 112,5.

Асимптотою кривої називається пряма лінія, до якої необмежено наближається точка цієї кривої при необмеженому віддаленні від початку координат. Асимптоти бувають вертикальні і невертикальні.

Якщо хоча б одна з односторонніх границь функції у = (х) в точці є нескінченною, тобто (х) = або (х) = , то пряма х = називається вертикальною асимптотою графіка цієї функції.

Пряма у = b є похилою асимптотою кривої у = (х) при х або при х , якщо виконуються умови: k = , b = ( (х) – kх).

На рис. 1,2, і 3 наведені приклади асимптот.

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

Асимптоти можуть бути похилими і вертикальними.

Якщо і (або) , то пряма є вертикальною асимптотою.

Прикладом вертикальної асимптоти є вісь Oy на рис. 3.

Прикладами похилих асимптот є прямі L на рис. 1 і 2.

Частинним випадком похилої асимптоти є горизонтальна асимптота.

Графік функції має горизонтальну асимптоту у = b, якщо k = 0, b

Приклад: Знайти рівняння асимптот функції: у = .

Область визначення функції: D(у) = (- (-1; + ).

Знайдемо односторонні границі: = = = = = = - .

Отже, пряма х = - 1 є вертикальною асимптотою.

Перевіримо умови існування похилих асимптот:

k = = = ( ) = 1,

b = ( (х) – kх) = ( - х) = = ( ) = 2.

Отже, пряма у = х + 2 є похилою асимптотою даної функції.

Завдання для роботи в аудиторії:

І. Знайти проміжки опуклості та угнутості і точки перегину графіка функції:

1. у = х² – 6х + 7;

2. у = х⁴ – 6х² + 5х – 9;

3. у = х⁶ – 3х⁴ + 3х² – 4;

4. у = ;

5. у = .

ІІ. Знайти рівняння асимптот графіка функції:

1. у = ;

2. у = ;

3. у = ;

4. у = 2х - ;

5. у = .

Домашнє завдання:

І.Знайти проміжки опуклості та угнутості і точки перегину графіка функції:

1. у = 3х² – 2;

2. у = х³ – 3х² + 4х – 5;

3. у = х⁵ – 10х³ + 6х + 2;

4. у = + 3;

5. у = .

ІІ. Знайти рівняння асимптот графіка функції:

1. у = ;

2. у = ;

3. у =

4. у = ;

5. у = .

Заняття 8 Тема: Дослідження функцій та побудова їх графіків.

Дослідження функцій і побудову їх графіків можна проводити за такою схемою:

1. Область визначення функції.

2. Точки розриву графіка функції.

3. Точки перетину графіка функції з координатними осями.

4. Дослідження функції на парність.

5. Дослідження функції на монотонність та екстремум.

6. Дослідження функції на напрям угнутості та точки перегину.

7. Асимптоти графіка функції.

8. Графік функції.

Приклад: Дослідити функцію та побудувати її графік:

1. 

2. – точки розриву другого роду. Оскільки

3. 

4. і, отже, дана функція є непарною, а її графік симетричний відносно початку координат.

5. Далі досліджуємо похідну даної функції: .

Похідна дорівнює нулю при

При значення похідної позитивні, при - негативні.

Таким чином, на множині функція зростає, а на множині - спадає.

Оскільки при переході через похідна міняє знак із плюса на мінус, то максимум функції.

Оскільки при переході через похідна міняє знак з мінуса на плюс, то мінімум функції.

Оскільки при переході через x = 0 похідна не міняє знака, то y(0) = 0 не є екстремумом функції.

Таким чином, P₁ - точка максимуму, а P₂ - точка мінімуму графіка функції.

6. Тепер досліджуємо другу похідну:

При значення другої похідної негативні, при позитивні, y'' = 0 при x = 0.

Таким чином, на множині графік функції опуклий, а на множині - вгнутий, P₃(0; 0) - точка перегину.

7. а) Оскільки - точки розриву другого роду, то рівняння визначають вертикальні асимптоти..

б) Знайдемо похилу асимптоту у вигляді рівняння , де

Таким чином, y = x - похила асимптота.

8. На підставі проведеного дослідження функції будуємо її графік (рис. 4).

Рис. 4

Завдання для роботи в аудиторії:

Дослідити функцію та побудувати її графік:

1. у = - х³ + х² + 3х – 6;

2. у = ;

3. у = ;

4. у = 8х²

5. у = х .

Домашнє завдання:

Дослідити функцію та побудувати її графік:

1. у = х³ - х² + 2;

2. у = ;

3. у = ;

4. у = х²;

5. у = .

Заняття 9 Тема: Застосування теорії екстремумів для розв’язування задач.

Загальна схема розв’язування таких задач полягає в тому, що встановлюється залежність величини, про яку йдеться в умові задачі у від деякої незалежної величини х (позначення можуть бути і інші). Із умови задачі встановлюється проміжок, в якому може змінюватись аргумент х. Після того, як величина у представлена, як функція від аргументу х, до неї застосовується теорія екстремумів.

Приклад 1: Проволокою довжиною 20м потрібно обгородити клумбу, яка має форму кругового сектора. Яким повинен бути радіус круга, щоб площа клумби була найбільшою?

Розв’язання. Позначимо радіус круга через х, а довжину дуги сектора – через L. Площа кругового сектора S = xL . Величина S залежить від двох змінних х і L . Виразимо L через х (можна і навпаки). За умовою задачі периметр кругового сектора дорівнює 20м, тобто 2х + L = 20 (рівняння зв’язку), звідси L = 2(10 – х).

Отже, S(х) = х(10 – х).

Для змінної х можливі значення належать проміжку (0; 10).

Отриману функцію потрібно дослідити на максимум: S(х) max.

S′(х) = 10 – 2х, 10 – 2х = 0, х = 5.

S′′(х) = -2, S′′(5) = -2 0.

Отже, при значенні х = 5 функція отримує максимальне значення.

Відповідь: треба взяти радіус, рівний 5м.

Приклад 2. Бак циліндричної форми повинен вміщати V л води. Якими повинні бути його розміри, щоб площа поверхні (без кришки) була найменшою?

Розв’язання. Об’єм циліндра V = (рівняння зв’язку), де х – радіус основи циліндра, - його висота.

Площа поверхні циліндра S = + 2 х (функція,яку потрібно дослідити на мінімум).

Із першого рівняння виражаємо = . Підставивши це й вираз у друге рівняння, отримаємо: S(х) = + ; S(х) min.

S′(х) = 2 - ; 2 - = 0, х = ;

S′′(х) = 2 + ; S′′( ) 0, тобто в точці х = функція S(х) має мінімум.

Якщо радіус циліндра х = , то його висота = = .

Відповідь: площа поверхні циліндра буде найменшою, якщо його радіус основи і висота будуть рівні між собою і рівні .

Завдання для роботи в аудиторії:

1. Розкласти число 12 на два доданки так, щоб сума їх кубів була найменшою.

2. В трикутник з основою = 20 см і висотою = 12 см вписаний прямокутник найбільшої площі. Обчислити його площу.

3. Із прямокутного куска бляхи шириною 30 см потрібно виготовити відкритий зверху жолоб, поперечний переріз якого має форму рівнобічної трапеції. Дно жолоба повинно мати ширину 10 см. Яким повинен бути кут,що утворюють стінки жолоба з дном, щоб він поміщав найбільшу кількість води?

4. Палатка об’ємом V має форму прямого кругового конуса. Яким повинно бути відношення висоти конуса до радіуса основи, щоб на його виготовлення пішла найменша кількість матеріалу?

5. В конус, радіус якого дорівнює R, а висота H потрібно вписати циліндр найбільшого об’єму.

6. Знайти найменшу відстань від точки В(0; 3) до кола х² + у² = 4.

7. Геометричне тіло являє собою прямий круговий циліндр з півкулею зверху. При яких лінійних розмірах це тіло буде мати найменшу повну поверхню, якщо його об’єм дорівнює 216 см³.

8. Потрібно побудувати прямокутну площадку біля кам’яної стіни так, щоб з трьох сторін вона була обгороджена дротяною сіткою, а четвертою стороною прилягала до стіни. Для цього є 24 погонних метри сітки. При якому співвідношенні сторін площадка буде мати найбільшу площу?

9. Переріз тунелю має форму прямокутника,який завершується півкругом. Периметр тунелю Р = 35,7м. При якому радіусі півкруга площа перерізу буде найбільшою?

10. Знайти висоту конуса найбільшого об’єму, який можна вписати в кулю радіуса R.

Домашнє завдання:

1) Число 36 подати у вигляді двох додатних множників так, щоб їх сума була найменшою.

2) Із прямокутного листа картону розміром 24 9 см потрібно виготовити відкриту зверху коробку, вирізаючи в кутах листа рівні квадратики і загинаючи утворені бічні смужки під прямим кутом. Якими повинні бути сторони квадратиків, щоб об’єм коробки був найбільшим?

3) Рівнобедрений трикутник, вписаний в коло радіуса R = 3 см обертається навколо основи. Знайти висоту трикутника , при якій отримане тіло обертання має найбільший об’єм.

4) В прямокутній системі координат через точку М(2; 3) проведена пряма, яка разом з осями координат утворює трикутник, розміщений в першому квадранті. Якими повинні бути відрізки, які відтинає пряма на осях, щоб площа трикутника була найменшою?

5) Потрібно вирити яму конічної форми з твірною b = 3м. При якій глибині об’єм ями буде найбільшим?

Індивідуальні завдання

1.Знайти похідні наступних функцій:

№ з/п	Функція	№ з/п	Функція
	.
	.
	.		.

2. Знайти похідну від наступних функцій:

№ з/п	Функція	№ з/п	Функція
	.		.
	.		.
			.

3. Знайти диференціал другого порядку наступних функцій:

№ з/п	Функція	№ з/п	Функція
	.
	.
	.		.

4. Дослідити функцію та побудувати її графік:

№ з/п	Функція	№ з/п	Функція

Питання для перевірки знань

1. Що таке похідна функції?

2. Поняття про приріст функції.

3. Похідні основних елементарних функцій.

4. Похідні складних функцій.

5. Геометричний зміст похідної функції.

6. Механічний зміст похідної функції.

7. Яка функція називається неявно заданою?

8. Як обчислюється похідна неявної функції?

9. Яким чином обчислюється похідна функції, заданої параметрично?

10. Як обчислюється показниково - степеневої функції?

11. Як обчислити похідну другого порядку?

12. Яким співвідношенням користуються при наближених обчисленнях?

13. Як обчислити похідну го порядку?

14. Що таке диференціал функції?

15. Як обчислити диференціал го порядку?

16. Яким чином напрямок росту функції залежить від похідної?

17. Що називається екстремумом функції?

18. Необхідна умова екстремуму функції.

19. Достатні умови екстремуму функції.

20. Умова вгнутості (опуклості) графіка функції.

21. Умова зростання (спадання) функції на проміжку.

22. Які точки називаються точками розриву функції?

23. Загальна схема дослідження функції.

Список рекомендованої літератури

24. Беклемешев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М: Наука, 1984. – 320 с.

25. Вища математика: Зб. задач: У 2ч. Ч.1. / За заг. ред. Овчинникова П.П. – К.: Техніка, 2003. – 279 с.

26. Збірник задач з лінійної алгебри та аналітичної геометрії / Рудавський Ю.К. та ін. – Львів: Вид.-во „Бескид Біт”, 2002. – 256 с.

27. Ильин В.А. Линейная алгебра: учебник для вузов. – М.: Физматлит, 2005. – 280 с.

28. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. - М.: Наука, 1967. - 571 с.

29. Ким Г.Д., Шикин Е.В. Элементарные преобразования в линейной алгебре. – М: Наука, 1981. – 52 с.

30. Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика. Практикум. – К.: ЦУЛ, 2003. – 536 с.

31. Чарін В.С. Лінійна алгебра. – К.: Техніка, 2005. – 416 с.

32. Шилов Г.Е. Математический анализ (конечномерные линейные пространства). – М: Наука, 1969. – 432 с.

33. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. Ч.1. – М.: Изд.-во «Оникс», 2005. – 304 с.

34. Сборник задач по курсу высшей математики / Под ред. Дюбюка П.Е., Кручковича Г.И. – М.: Высшая школа, 1965. – С.168-182.

35. Иванова Е.Е. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. - М.: Изд.во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. - 403 с.

36. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. - М.: Наука, 1969. - 640 с.

1

40

2

39

3

38

4

37

5

36

6

35

7

34

8

33

9

32

10

31

11

30

12

29

13

28

14

27

15

26

16

25

17

24

18

23

19

22

20

21

41

60

42

59

43

58

44

57

45

56

46

55

47

54

48

53

49

52

50

51