29.Уравнения прямой на плоскости. Различные уравнения прямой на плоскости.

Уравнение прямой на плоскости

Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида

A x + B y + C = 0

где A и B не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду

y = k x + b

где k - угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ

Уравнение прямой в отрезках на осях

Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами (a, 0) и (0, b), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости

Если прямая проходит через две точки A(x1, y1) и B(x2, y2), такие что x1 ≠ x2 и y1 ≠ y2 то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки A(x0, y0, z0) лежащей на прямой и направляющего вектора n = {l; m; n}, то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

x = l t + x0

y = m t + y0

z = n t + z0

где (x0, y0, z0) - координаты точки лежащей на прямой, {l; m; n} - координаты направляющего вектора прямой.

30. Угол между двумя прямыми на плоскости. Расстояние от точки до прямой.

Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами.

Если прямые заданы следующими уравнениями:

A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0

тогда направляющие векторы этих прямых будут равны:

a1 = (- B1 ; A1) и a2 = (- B2 ; A2)

Расстояние от точки до прямой.

31. Линии второго порядка на плоскости. Эллипс.

Эллипсом называют геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина положительная, большая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса:

Кривая эллиптического типа:

Эллипс имеет 2 оси симметрии и центр симметрий.

Отношение расстояний между фокусами a и в – полуоси эллипса.

Эксцентриситетом называют отношение большей полуоси к меньшей:

Директриса эллипса : , где 0≤ <1.

Теорема: , где r – расстояние от произвольной точки до фокуса, d- расстояние от этой точки до директрисы.

32.Линии второго порядка на плоскости. Гипербола.

Гипербола – геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до 2.ух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и равная 2а < 2с (меньше чем расстояние между фокусами) => а < с

Каноническое уравнение гиперболы: ,

где а – действительная полуось, b – мнимая полуось.

(См. рисунок в тетради)

- прямые, удовлетворяющие этому уравнению называются асимптотами гиперболы.

Отношение расстояния между фокусами к действительной полуоси гиперболы называется ее эксцентриситетом: ,

где > 1.

Свойства гиперболы:

1. Имеет центр симметрии и две оси симметрии

– уравнение асимптот гиперболы

2. 

Если a=b, то гипербола называется равносторонней или равнобочной. Асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны.

Фокусами гиперболы называют точки F₁ (-c;0) и F₂ (c;0), где c= .