4) Аналитический способ

При этом способе функция задается в виде аналитического выражения, полученного путем применения каких-либо логических операций.

Например:

27(38). Булева алгебра. Основные свойства операций булевой алгебры. Понятие двойственности и самодвойственной логической функции.

Булева алгебра

Булевой алгеброй называется непустое множество A с двумя бинарными операциями (аналог конъюнкции), (аналог дизъюнкции), унарной операцией (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для всех a, b и c из множества A верны следующие аксиомы:

ассоциативность

коммутативность

законы поглощения

дистрибутивность

дополнительность

Основные свойства операций булевой алгебры

Из аксиом видно, что наименьшим элементом является 0, наибольшим является 1, а дополнение ¬a любого элемента a однозначно определено. Для всех a и b из A верны также следующие равенства:

дополнение 0 есть 1 и наоборот

законы де Моргана

инволютивность отрицания, закон снятия двойного отрицания.

Понятие двойственности и самодвойственной логической функции

Двойственная функция - это функция, полученная из исходной путём замены в ней всех переменных на противоположные. Закон двойственности гласит, если формулы А и В равносильны, то и двойственные им формулы А* и В* также равносильны. В теории исчисления высказываний этот закон назван принципом двойственности.

Функция, совпадающая со своей двойственной, называется самодвойственной.

28(39). Алгебра Жегалкина. Основные свойства операций алгебры Жегалкина.

Алгебра Жегалкина

Множество булевых функций, заданный в базисе Жегалкина S4={⊕,&,1} называется алгеброй Жегалкина.

Основные свойства операций алгебры Жегалкина

Основные свойства.

1. коммутативность H1⊕H2=H2⊕H1 H1&H2=H2&H1	2. ассоциативность H1⊕(H2⊕H3)=(H1⊕H2)⊕H3 H1&(H2&H3)=(H1&H2)&H3	3. дистрибутивность H1&(H2⊕H3)=(H1&H2)⊕(H1 &H3)
4. свойства констант H&1=H H&0=0 H⊕0=H	5. H⊕H=0 H&H=H

В алгебре Жегалкина, очевидно, имеют место следующие соотношения:

x y=y x	x(y z)=xy xz	x x=0
x 0=x	x 1=	xVy=xy x y

29(40). Алгебра Жегалкина. Представление логических функций полиномом Жегалкина.

Алгебра Жегалкина

Множество булевых функций, заданный в базисе Жегалкина S4={⊕,&,1} называется алгеброй Жегалкина.

Представление логических функций полиномом Жегалкина

Исходя из оценки числа различных функций алгебры логики и числа различных полиномов Жегалкина, следует

Теорема Жегалкина.

Для всякой логической функции существует соответствующий ей полином Жегалкина и притом только один.

Функция алгебры логики, для которой полином Жегалкина имеет вид (здесь знак суммирования означает суммирование по модулю 2, а параметры , называется линейной.

Очевидно, что все функции от одной переменной линейны.

Линейными являются, например, функции x y и x y 1=x~y.

Для построения полинома Жегалкина можно воспользоваться следующими двумя схемами:

Схема 1.

Перейти в сигнатуру алгебры Жегалкина (это можно сделать всегда, так как система функций {x&y, x y, 1} , как это было показано ранее, полна), раскрыть скобки и провести возможные сокращения.

Схема 2.

Воспользоваться приёмом, который называется методом неопределённых коэффициентов.

Этот метод применим лишь тогда, когда функция от n переменных задана своей таблицей истинности. Решается система линейных уравнений с ограничениями, которые задаются через значения функции на двоичных n мерных наборах, и неизвестными - коэффициентами полинома Жегалкина.

Пример составления полинома Жегалкина.

Возьмем СДНФ нашей функции, и упростим его, насколько возможно:

f(x,y,z) = (~x & y & z) (x & ~z)

Теперь преобразуем инверсии:

f(x,y,z) = ((x 1) & y & z) (x & (z 1))

Теперь преобразуем операцию :

f(x,y,z) = ((x 1) & y & z) (x & (z 1)) ((x 1) & y & z & x & (z 1))

Раскроемскобки:

f(x,y,z) = (x & y & z) (1 & y & z) (x & z) (x & 1) (x & y & z & x & z)

(1 & y & z & x & z)

(x& y & z & x & 1) (1 & y & z & x & 1)

Применим законы поглощения внутри скобок:

f(x,y,z) = (x&y&z) (y&z) (x&z) x (y&x&z) (y&x&z) (y&z&x) (y&z&x)

Применим законы поглощения для одинаковых скобок, учитывая, что переменные, соединенные знаками & можно менять местами:

f(x,y,z) = (y & z) (x & z) x (x & y & z)