Вопрос 13 подстановок группа- совокупность подстановок

на нек-ром множестве X, образующих группу относительно опера

ции умножения подстановок.

вопрос14. Кольцо вычетов Если задано натуральное n, кольцо целых чисел Z разбивается на непересекающиеся классы чисел, имеющих одинаковые остатки при делении на n. Определимсложение и умножение этих классов через операции над их элементами: пустьчисла a и b принадлежат классам A и B соответственно, тогда классы A + B иA × B — это те классы, которые содержат числа a + b и a × b соответственно.Не трудно проверить, что такое определение корректно. Кроме того множествоклассов с этими операциями образует кольцо, которое называют кольцом Zn вычетов по модулю n.Единичным элементом в нем является класс, содержащий 1,нулевым — содержащий 0.Пример. Показать, что кольцо Zn вычетов по модулю n будет полем тогдаи только тогда, когда n — простое число.Решение.Будем обозначать через Ak класс вычетов, содержащий число k.Если n = p × q, где p и n натуральные числа, большие 1. Тогда Ap × Aq = An = A0,т. е. Aq и Ap — делители нуля, которых не может быть в поле.Если n — простое, то для того, чтобы Zn было полем, необходимо и достаточно,чтобы каждый ненулевой имел обратный. Рассмотрим произвольный Ap (1 < p <n). Все числа p,2p,...,(n − 1)p имеют попарно различные ненулевые остатки приделении на n. По принципу Дирихле, среди них найдется равный 1. Таким образом,∃k : 1 < k <n,Akp = A1. Но Ap × Ak = Akp. Значит, для Ap существует обратный. ВОПРОС15 поле вычетов Z_n является полем  вычетов тогда и только тогда, когда n=p является простым числом.Доказательство. Если n=p - простое число, то Z_p - кольцо без делителей нуля (действительно, если C_kC_l=C₀,  ,  , то kl=pq, но k и l не делятся на p, что приводит к противоречию). Доказательство завершает следующая лемма. __Полем   называют коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный элемент (т.е. обратный по умножению).Другими словами, полем называют множество, которое является аддитивной абелевой группой; ненулевые же элементы этого множества образуют мультипликативную абелевую группу, и выполняется закон дистрибутивности.

ВОПРОС16 Теорема Любое подмножество конечного множества само конечно. Любое надмножество бесконечного множества само бесконечно. Если множество содержит конечное число элементов, то говорят, что оно конечно, в противном случае множество называется бесконечным. Число элементов конечного множества A называется мощностью множества A и обозначается |A|. В дальнейшем мы будем различать общий (текущий) элемент x множества A, т.е. произвольный элемент, характеризующийся единственным свойством “принадлежать множеству A”, и конкретные элементы a, b, c каждый из которых отличен от других. Множество A, состоящее из элементов a,b,c,... записывается A={a,b,c,...}. Обозначим через - число различных k-элементных подмножеств n-элементного множества.Теорема. =n!/k!(n-k)!, если k n.Доказательство теоремы.Теорему будем доказывать индукцией по k. Базис индукции k=0. Имеем =n!/n!0!=1, что верно, так как 0-элементное множество лишь одно, а именно пустое множество . Пусть утверждение теоремы верно для любого k, 0 kn-1. Покажем, что теорема верна и для k+1. Действительно, =(n-k)n!/(k+1)(n-k)k!=n!/(k+1)!(n-k-1)!, что доказывает теорему.

17

18

19

20

21

22

ВОПРОС 25 Графом G(V,E) называется совокупность двух множеств - непустого множества V (множества вершин) и множества Е неупорядоченных пар различных элемен­тов множества V (Е - множество ребер).

G(V,E):  ,    E VxV.

Число вершин графа G обозначим р, а число ребер – q.

р(G) = |V|    q(G) = |E|.

Часто рассматриваются следующие родственные графам объекты.

1.  Если элементами множества Е являются упорядоченные пары, то граф назы­вается ориентированным (или орграфом). В этом случае элементы множества V называются узлами, а элементы множества  - дугами (G(V,  )).

2.  Если элементом множества Е может быть пара одинаковых (не различных) элементов V, то такой элемент множества Е называется петлей, а граф назы­вается графом с петлями (или псевдографом).

3.  Если Е является не множеством, а набором, содержащим несколько одинако­вых элементов, то эти элементы называются кратными ребрами, а граф назы­вается мультиграфом.

Далее выражение: граф G(V,E) означает неориентированный граф без петель и кратных ребер.

Обычно граф изображают диаграммой: вершины - точками (или кружками), ребра - линиями.

Примеры.1.  .  .

Способы задания графов

1. Аналитический

Если вершине не инцидентно никакое ребро, то эта вершина называется

изолированной.

Выписываются все ребра и пишутся напротив две пары вершин, которым они

инцидентны.

В конце выписываются все изолированные вершины.

2. Геометрический

Каждая вершина графа задается точкой. А ребра, инцидентные паре вершин –

кривой.

Желательно рисовать кривые без пересечения. Если пересечения существуют, то

их надо отличать от вершин.

3. С помощью матрицы инцидентности

A(m*n)

m = [V] – число вершин

n = [X}- число ребер

а) Неориентированные графы

Aij = {0, если Vi не инцидентно xj, 1, если Vi инцидентно xj)

б) Орграфы

Aij = {0, если Vi не инцидентно xj, -1, если Vi - начало xj, 1, если Vi -

конец xj)

Для петель нужны дополнительные предположения.

4. Матрица смежности (задается одинаково для всех графов)

B(m*m) m = [V]

Bij равно числу ребер, инцидентных паре вершин (oi, oj)

Если граф не ориентирован, то матрица симметрична.

Граф, в котором нет кратных ребер и петель, называется простым.

Простой граф называется полным, если любой паре его вершин инцидентно одно

ребро.Дальше все о неориентированных графах.