19.4. Свойства функции выбора

Рассмотрим самые общие условия, которые налагаются на функции выбора, и покажем, как изменяется множество выби­раемых вариантов Y = С(Х) при различных ограничениях на предъявление X. Отдельные свойства функции выбора проил­люстрируем на примерах покупки товаров и определения луч­ших групп университета. Обозначим через X исходное множе­ство всех вещей или групп, X^ — некоторое подмножество вещей йли групп, С(Х) и С(Х_к) — вещи или группы, выбранные соот­ветственно из X и Х_к. Свойства функции выбора определяются следующими условиями.

Независимость выбора от исключения отвергнутых вари­антов (О): если С(Х) С Х_к С X, то С{Х_к) = С(Х). Вари­анты, выбранные из исходного множества, совпадают с вари­антами, выбранными из суженного множества, полученного пу­тем исключения невыбранных вариантов (рис. 19.3, о). Приме­ры: удаление из ассортимента невыбранных товаров не влияет на результаты выбора; исключение из числа участников конкур­са групп, не являющихся лучшими на факультетах, не меняет состав лучших групп университета.

Монотонность выбора (М): если Х_к С X, то С(Х_к) С С(Х). Варианты, выбранные из суженного множества, входят в чис­ло вариантов, выбранных из исходного множества (рис. 19.3, м). Примеры: товары, выбранные из ограниченного ассортимента, будут среди выбранных и из широкого ассортимента; лучшие группы факультета будут среди лучших групп университета.

Наследование выбора (Н): если Х_к Q X, то С(Х_к) 2 С(Х) р| р| Х_к. Варианты, выбранные из исходного множества и имеющи­еся в суженном множестве, входят в число вариантов, выбран­ных из суженного множества (рис. 19.3, н). Примеры: товары, выбранные из широкого ассортимента и имеющиеся в ограни­ченном ассортименте, будут среди выбранных и из ограничен­ного ассортимента; лучшие группы университета, относящиеся к некоторому факультету, будут среди лучших групп этого фа­культета.

Константность (сильное наследование) выбора (К): если Х_к С X и С(Х) f]X_k ф 0, то С(Х_к) = C(X)f)X_k. Только варианты, выбранные из исходного множества и имеющиеся в суженном множестве, будут выбраны из суженного множества (рис. 19.3, к). Примеры: только те товары, которые выбраны из широкого ассортимента и имеются в ограниченном ассортимен­те, будут выбраны и из ограниченного ассортимента; только луч­шие группы университета, относящиеся к некоторому факульте­ту, будут лучшими группами этого факультета.

Согласие (слабое наследование) выбора (С): если X^X^IJX^, то C(X_k)f[C(X_h) С С(Х) = C(X_k\JX_h). Варианты, входящие одновременно в число выбранных из всех суженных множеств, входят в число вариантов, выбранных из расширенного множе­ства,

X		м	X		н	X
			Хк			Хк

С{Х_к) С(Х)

С(Х_к) С(Х)

С(Х_к) С(Х)

х /fSSS
Хк

С(Х_к) С(Х)

	Xh
	%

С(х_к) П C(x_h)

С(х_к) и C(x_h)

	Xh
Хк"

С(х_к) и C(x_h)

С(х_к) п ад

Рис. 19.3. Свойства функции выбора:

о — независимость от исключения отвергнутых вариантов; м — монотонность; н — наследование; к — константность; с — согласие; в — совмещенность; а — агрегируемость; п — независимость от пути

которое объединят все варианты, и в общее число вариан­тов, выбранных из всех суженных множеств (рис. 19.3, с).

Примеры: товары, одновременно выбранные во всех ограниченных ассортиментах, будут среди выбранных и из расширенного ас­сортимента; лучшие группы всех факультетов будут среди луч­ших групп университета.

Совмещенность (мультипликаторность) выбора (В): C(X_k) f]C(Xh) = C(Xkf]Xh)- Варианты, входящие одновре­менно в число выбранных из всех суженных множеств, совпа­дают с вариантами, выбранными из множества, которое состоит из общей части всех суженных множеств (рис. 19.3, в). Приме­ры: товары, одновременно выбранные во всех ограниченных ас­сортиментах, будут среди выбранных и из общей части ограни­ченных'ассортиментов; лучшие группы всех факультетов будут лучшими среди групп, общих для всех факультетов (если тако­вые имеются).

Агрегируемость (сумматорность) выбора (А): если X = = X_k\JX_h, то С(Х) = C(X_k\JX_h) - C(X_k){JC(X_h). Вариан- ты, выбранные из объединения всех суженных множеств, сов­падают с вариантами, выбранными из всех суженных множеств (рис. 19.3, а). Примеры: товары, выбранные из всех ограничен­ных ассортиментов, будут выбраны и из расширенного ассорти­мента; лучшие группы всех факультетов будут лучшими груп­пами университета.

Независимость выбора от пути (П): если X — X_k (J Х^, то С(Х) = С'(Х_к U x_h) = C{C{Xk)\JC{X_h)). Варианты, выбран­ные из объединения всех суженных множеств, совпадают с вари­антами, выбранными из множества, которое состоит из всех вариантов, выбранных из всех суженных множеств (рис. 19.3, п). Примеры: товары, выбранные из расширенного ассортимента, будут выбраны и из множества товаров, объединяющего това­ры, выбранные из всех ограниченных ассортиментов; лучшие группы университета будут группами, выбранными из множе­ства лучших групп всех факультетов.

К функции выбора можно предъявить и другие виды тре­бований. Каждое из сформулированных условий и их сочета­ние определяют некоторый класс функций выбора. Так, условие константности К характеризует классически рациональный вы­бор по скалярному критерию оптимальности или функции цен­ности/полезности и усиливает каждое из свойств Н, О, С. Сов­местное выполнение условий наследования Н, независимости от отвергнутых вариантов О и согласия С ведет к многокритери­альному выбору по Эджворту —Парето и, в частности, обеспе­чивает выполнение свойства К. Условие агрегируемости А эк­вивалентно совместному выполнению свойств М и С, а условие независимости от пути П — совместному выполнению свойств Н и О. В то же время существуют и функции выбора, не обладаю­щие какими-то из указанных выше свойств.