19.3. Механизмы выбора

Выбор осуществляется по определенным правилам на основе имеющейся информации о вариантах. В совокупности они де­тализируют внутреннее устройство преобразователя, реализую­щего функцию выбора, и носят название механизма выбора. Ме­ханизм выбора задается парой М = (а,к), где а — некоторая структура на семействе вариантов А; к — правило выбора, ука­зывающее, каким образом из предъявления X на основе струк- туры а выделяется множество Y = С(Х) выбираемых вариан­тов.

Первая компонента механизма выбора — структура а — от­ражает особенности всех вариантов из множества Х^а, которые позволяют сопоставить варианты друг с другом или с группа­ми вариантов и произвести выбор. Если выбор осуществляется лишь на основе информации о попарном сравнении вариантов, то структура представляет собой набор бинарных отношений и результаты сравнения. Если варианты сравниваются по многим критериям, то в качестве структуры выступают критерии, их шкалы и критериальные оценки вариантов.

Иногда указываются либо эталонные варианты (опорные, или идеальные, точки), к которым желательно максимально приблизиться при выборе, либо варианты определенного уровня, не ниже которого должны быть выбранные варианты. В струк­туру могут включаться также сведения о важности бинарных отношений или критериев, или об их упорядоченности по отно­сительной важности, если эта информация существенна для вы­бора. Используются и другие разновидности структур. При рас­смотрении конкретных механизмов выбора обычно указывается составляющая их структура.

Вторая компонента механизма выбора — правило выбора к — является набором инструкций Ф1, Ф2, ... или Ф1, Ф25 • • • Для от­бора желательных вариантов. В соответствии с двумя возмож­ными способами определения функции выбора С(Х) правило выбора тс также допускает поэлементное и целостное описания условий, при которых вариант у включается в выбранное мно­жество Y. Очевидно, что при одной и той же структуре о могут использоваться различные правила выбора к. Укажем некото­рые из них.

Одни из наиболее распространенных — правила, предписыва­ющие выбирать из предъявления X лишь лучшие варианты по отношению R либо нехудшие варианты, для которых в предъяв­лении X нет лучших вариантов. В первом случае (правило раз­решения) функция выбора С(Х) имеет вид

C_R{X) = {у € X\yRx,Vx Е X},

а во втором (правило запрещения) —

Сц(Х) = {у € Х\3х 6 X,xRy}.

Структура а должна содержать в первом случае информацию, что отношение R рефлексивно, а во втором — антирефлексивно, иначе второй способ выбора при х = у даст тождественно пустой выбор.

Правило экстремального выбора при наличии числового кри­терия качества решения (показателя эффективности) f(x) есть

процедура вычисления переменных у Е argmax/(x), которые

хех

экстремизируют критерий оптимальности на множестве X, что эквивалентно следующей форме записи:

CoptiX) = {у € X\f(y) > /(*), V* G X}.

При совокупно-экстремальном выборе по многим критериям качества /i(#), ..., fn(x) лучшими считаются варианты, не усту­пающие всем остальным вариантам хотя бы по одному из крите­риев:

C_extr(X) = {ye Х\3к G {1, ..., п}, Д(у) > h(x)yx G X},

а при мажоритарном выборе — варианты, превосходящие остальные варианты по большему числу критериев:

п

Cmaj(X) = {у G 5>gnUM ~ №)) > 0, Va: G X].

3=1

Структура о описывает здесь соотношения между критериями качества решения и шкалы критериев.

Выбор парето-оптимальных вариантов осуществляется по правилу

С_раг(Х) = {у € Х\fj(y) > fj(x) и Зк£{1, ...,n},f_k(y)> f_k(x),Ухе X}, а лексикографический выбор по правилу

С_1ех(Х) = {уе Х\Ш < h(x), или fl(y) = fi(x), f₂{y) < /₂(ж), или /i(y) = ft(x), fk-l(y) = = fk-i(x),fk(y) < /*(*), Vfc,Vs G X}.

В первом случае структура а устанавливает строгий частичный порядок на множестве критериев качества, во втором — лекси­кографический порядок.

б в г

Рис. 19.2. Схемы механизмов выбора:

а — агрегированный; б — последовательный; в — параллельный; г — последовательно-параллельный

Перечисленные механизмы выбора достаточно просты и опи­раются на рассмотренные ранее способы выражения предпочте­ний ЛПР с помощью бинарных отношений и многокритериаль­ных оценок. Вместе с тем представление предпочтений ЛПР функциями выбора позволяет строить и более сложные меха­низмы, которые можно представить в виде многоступенчатых схем.

При агрегированном выборе (рис. 19.2, а) дополнительно за­дается правило агрегирования, позволяющее построить новый агрегированный механизм, в соответствии с которым и будет осуществляться выбор. Обычно это некоторая операция G, сопо­ставляющая набору механизмов выбора М — (Mi, М₂, ..., Мk) новый агрегированный механизм М_адд = G(M) = G(Mi, М₂, ..., Mfc). Агрегированный выбор характеризуется функцией

Садд(Х) = C_G(_M)(X).

Примером агрегированного выбора может служить парето- оптимальный выбор.

При последовательном выборе (рис. 19.2, б), использующем набор механизмов М = (Mi, М₂, ..., вначале производится выбор по механизму Mi, из отобранных вариантов выбираются варианты по механизму М₂ и т. д. Последовательный выбор опи­сывается функцией

Cseq(X) = См_к(• • • См₂(См₁(Х)) . . .)•

Примером последовательного выбора является лексикографиче­ский выбор, где механизм Mj определяет правило выбора по со­ответствующему критерию fj.

Параллельный выбор (рис. 19.2, в) формируется из множеств выбранных вариантов См_г {X), См₂ РО? • • • > См_к {X) с помощью некоторой операции F и задается функцией

Cpar(X) = F(Cm₁{X),CM₂{X)i ...,См_к(Х)).

Примерами параллельного выбора служат многокритериаль­ный и мажоритарный выборы, где механизм Mj определяет правило выбора по соответствующему критерию fj. Используя различные сочетания разных механизмов выбора, можно стро­ить более сложные функции выбора для реальных ситуаций (рис. 19.2, г).

Каждый конкретный механизм выбора М порождает опреде­ленную функцию выбора См{Х). Обратное утверждение, вооб­ще говоря, не верно: одна и та же функция выбора может по­рождаться различными механизмами. Механизмы, отличающи­еся структурами а, правилами выбора п или же и тем и другим, но порождающие одну и ту же функцию выбора, называются эквивалентными. Чем проще механизм выбора, тем меньше ин­формации требуется для построения этого механизма. И наобо­рот, для конструирования более сложных механизмов нужна бо­лее детальная информация.

При построении сложных механизмов выбор» в виде много­ступенчатых схем «составная» функция выбора См(Х) образу­ется в результате агрегирования или комбинирования несколь­ких «простых» функций выбора. Такие преобразования функ­ций выбора можно формально представить как операции над функциями выбора, среди которых простейшие — операции су­перпозиции, объединения и пересечения, частичного объедине­ния и пересечения, заданные на множестве функций выбора. Ис­пользование этих операций позволяет построить результирую­щую функцию выбора из набора исходных функций.