16.5. Оценка согласованности предпочтений лпр

Как известно, при большом числе попарно сравниваемых объектов человек может вести себя непоследовательно, оши­баться, допускать нетранзитивность сравнений. Поэтому метод включает в себя проверку согласованности оценок, даваемых ЛПР при попарном сравнении элементов иерархии на всех эта­пах получения промежуточных и окончательных результатов. В первую очередь в процессе решения задачи требуется контро­лировать, чтобы при заполнении всех матриц парных сравнений А = (aij)hxh Для элементов матрицы выполнялись условия об­ратной симметричности a_nj-a_ri = 1 и совместимости а^-а^ = a,j..

Для оценки согласованности субъективных сравнений эле­ментов иерархической структуры вводятся специальные показа­тели: индекс согласованности

I_h = (ХГ* - h)/(h - 1) (16.5)

и отношение согласованности Rf_L = //,,/ которые рассчитыва­ются для каждого уровня иерархии.

Параметр Х™^ах, входящий в показатели согласованности Ij-_L и Rh, определяется для каждого уровня иерархической структуры по следующей формуле:

h h

i=l j=l

где а^л — суть элементы матрицы А^к парных сравнений элемен­тов Hi и Hj по £;-му аспекту более высокого уровня.

Величина Г^ называется индексом средней согласованности. Значения были вычислены экспериментальным путем по формулам (16.5), (16.6) для обратно симметричных матриц ран­га h, элементы df- которых генерировались случайным образом

Таблица 16.5 Эмпирические индексы средней согласованности

h	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
С	0,00	0,58	0,90	1,12	1,24	1,32	1,41	1,45	1,49	1,51

из набора чисел 1/9,1/8, ..., 1/2,1,2, ... ,8,9. В табл. 16.5 ука­заны эмпирические значения индекса средней согласованности полученные для матриц разных рангов.

В матричной алгебре показано, что если элементы ац = ,ч_г/би­квадратной матрицы А = (aij)hxh удовлетворяют условиям по­ложительности aij > 0, обратной симметричности а^ • aji — 1 и совместимости a,j ■ ajk = а^ для всех г, j, к = 1, 2, ..., h, то чис­ло h есть максимальное собственное значение, а вектор-столбец s = (si, S2, ■ ■ ■, Sh)^T, составленный из чисел , — соответствую­щий правый собственный вектор матрицы А. Иными словами, выполняется равенство

As = hs. (16.7)

С математической точки зрения, чем ближе величина Х™^ах к собственному значению h идеальной матрицы А, тем более со­гласованными будут элементы afj реальной матрицы А^к, а са­ма матрица А^к будет ближе к матрице А. На практике условия обратной симметричности элементов матрицы обычно соблюда­ются, а выполнение условия совместимости не обеспечивается. Поэтому индекс согласованности Ih характеризует также нару­шение условия совместимости.

Окончательное вычисление общей ценности v(Ai) вариантов по формуле (16.4) проводится только после того, как будут полу­чены согласованные оценки элементов на всех уровнях иерархи­ческой структуры, удовлетворяющие ЛПР. Субъективные пред­почтения при сравнении элементов иерархии принято считать согласованными, если отношение согласованности Rh лежит в эмпирически установленных пределах 0,1 — 0,15. Если величи­на Rf_t на каком-то этапе выходит за эти пределы, то это слу­жит сигналом для ЛПР к проверке своих оценок. При неудо­влетворительной согласованности оценок возможна частичная или полная реструктуризация всей проблемы. Полезными при­емами, улучшающими согласованность оценок, являются груп­пировка однотипных элементов, объединение зависимых крите­риев.

Выполним проверку согласованности субъективных попар­ных сравнений элементов иерархической структуры и получен­ных на их основе результатов выбора лучшего загородного дома. Значения соответствующих индексов согласованности и отно­шений согласованности Rh для сравнений вариантов по крите­риям и различных критериев между собой указаны в табл. 16.6.

Параметр Х™^ах рассчитывается для каждого уровня иерархии