5. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы.

-Обозначим строки матрицы l₁, l₂, l₃…Если существ. числа k₁, k₂, k₃,…не равные 0 одновременно, такие, что k₁l₁+k₂l₂+k₃l₃+….k_nl_n=0, то строки матрицы назыв. линейно-зависимыми. Если равенство k₁l₁+k₂l₂+k₃l₃+….k_nl_n=0 выполняется только в случае k₁, k₂, k₃…=k_n=0, тогда строки матрицы назыв. линейно-независимыми.

-Ранг матрицы = максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, ч/з кот. линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).

6. Векторы. Операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число). N-мерный вектор. Понятие о векторном пространстве и его базисе.

-Вектор – направленный отрезок АВ с начальной точкой А и конечной точкой В.

Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на одной прямой или || прямых.

Нулевой вектор – вектор, у которого совпадают начало и конец.

-Произведение ненулевого вектора на число - это вектор, коллинеарный данному, а его модуль равен модулю данного вектора, умноженному на модуль числа.

Произведение ненулевого вектора на число - это вектор, координаты которого равны соответствующим координатам данного вектора, умноженным на число.

Для того, чтобы умножить вектор на число k, надо каждую его координату умножить на это число.

Сложение векторов a + b есть операция нахождения вектора c, все элементы которого равны попарной сумме соответствующих элементов векторов a и b.

Для того, чтобы сложить 2-а вектора одинаковой размерности, надо сложить все их соответств. координаты. (аналогично и вычитание)

Вычитание векторов a - b есть операция нахождения вектора c, все элементы которого равны попарной разности соответствующих элементов векторов a и b.

n-мерный вектор- это упорядоченный набор n чисел, которые назыв. координатами вектора.

Векторное пространство – множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число.

Базис – совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства R.

Линейная зависимость — это свойство, которое может иметь подмножество линейного пространства. Для этого должна существовать нетривиальная линейная комбинация элементов этого множества, равная нулевому элементу. Если такой комбинации нет, то есть коэффициенты единственной такой линейной комбинации равны нулю, множество называется линейно независимым.

7. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы

Ненулевой вектор p^→ называется собственным вектором квадратной матрицы A , если линейное преобразование с матрицей A переводит вектор p^→ в коллинеарный ему вектор λ·p^→ .Число λ называется собственным числом (характеристическим числом, собственным значением) матрицы A , соответствующим собственному вектору p^→.

Для того, чтобы найти собств. значения матрицы А, надо сост. и решить характеристическое ур-е матрицы А.

Характеристическое ур-е - алгебраическое уравнение вида. Определитель в этой формуле получается из определителя матрицы вычитанием величины x из диагональных элементов; он представляет собой многочлен относительно x и называется характеристическим многочленом.

8. Система n линейных уравнений с n переменными (общий вид) и матричная форма ее записи. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений

Система т линейных ур-ний с п переменными имеет вид:

{а₁₁х₁+а₁₂х₂+а₁₃х₃+…+а_1пх_п=b₁

{ а₂₁х₁+а₂₂х₂+а₂₃х₃+…+а_2пх_п=b₂

{……………………………….

{ а_т1х₁+а_т2х₂+а_т3х₃+…+а_тпх_п=b_т

Систему Ур-ний ↑ можно записать в матричной форме: А- матрица системы сост из коэффициентов при неизвестных. Х-матрица неизвестных, В-матрица-столбец свободных членов.

(а₁₁ а₁₂ а₁₃ …а_1п) (х₁) (b₁)

А=( а₂₁ а₂₂ а₂₃ …а_2п) Х= (х₂) В= (b₂)

(…………………..) (…) (…)

( а_т1 а_т2 а_т3… а_тп) (х_п) (b_n)

Система ур-ния в матричной форме имеет вид Ах=В.

Решением системы наз. такой набор переменных (х1,х2,х3…,хn), при подстановке кот. в сис-му все уравнения сис-мы превращаются в верное тождество.

Система ур-ний наз. совместной, если она имеет хотя бы одно решение, несовместной, если не имеет решений. Совместная система ур-ний наз. определенной, если имеет ед. решение, и неопределенной, если имеет более 1 решения.