- •1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение
- •2. Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.
- •3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная
- •4. Понятие минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример
- •5. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •6. Векторы. Операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число). N-мерный вектор. Понятие о векторном пространстве и его базисе.
- •7. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы
- •9. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с n переменными. Понятие о методе Жордана–Гаусса
- •10. Система m линейных уравнений с n переменными. Теорема Кронекера–Капелли. Условие определенности и неопределенности любой системы линейных уравнений
- •11. Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные системы m линейных уравнений с n переменными. Базисное решение.
- •12. Система линейных однородных уравнений и ее решения. Условие
- •13. Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы).
- •14. Скалярное произведение двух векторов (определение) и его выражение в координатной форме. Угол между векторами.
- •16. Векторное (линейное) пространство, его размерность и базис. Теорема о существовании и единственности разложения вектора линейного пространства по векторам базиса
- •17. Скалярное произведение векторов в n-мерном пространстве. Евклидово пространство. Длина (норма) вектора
- •18. Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный
- •19. Определение оператора. Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов.
- •20. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между вектором х и образом у. Ранг оператора. Операции над линейными операторами. Нулевой и тождественный операторы
- •21. Собственные векторы и собственные значения оператора ã
- •22. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов. Пример
- •23. Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы. Ранг квадратичной формы. Пример
- •24. Квадратичная форма (канонический вид). Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Пример. Закон инерции квадратичных форм
- •25. Положительно и отрицательно определенная, знакоопределенная
- •26. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести)
- •27. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •28. Кривые второго порядка, их общее уравнение. Нормальное уравнение окружности. Каноническое уравнение эллипса. Геометрический
- •29. Канонические уравнения гиперболы и параболы, геометрический
- •30. Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи. Нормальный вектор плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
- •31. Уравнения прямой линии в пространстве как линии пересечения
- •32. Углы между двумя плоскостями, между двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности
3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная
квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления
-Если кол-во строк = кол-ву столбцов, то такая матрица наз. квадратной размером m×m(матрица порядка m). Понятие определитель применяется только для квадратных матриц. Определителем кв. матрицы А наз. число, кот. вычисляется по след правилам: 1) А=(а11) detA=а11. 2) А=(а11а12) detA=а11а22-а12а21.
(а21а22)
3) (а11а12а13)
А=(а21а22а23) ΔA=а11а22а33+а13а21а32+а31а12а23-а31а22а13-а11а32а23-а33а21а12.
(а31а32а33)
4) Определитель п-го порядка = сумме произведения элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения. ∆=аi1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin. –разложение по строке. ∆=aijA1j+a2jA2j+…+anjAnj- разложение по столбцу
-Квадратная матрица называется неособенной (или невырожденной), если её определитель не равен нулю, и особенной (или вырожденной, сингулярной), если её определитель равен нулю.
-Присоединённая матрица — матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы. Присоединенная матрица рассматривается только для квадратных матриц и сама является квадратной, ибо понятие алгебраического дополнения вводится для квадратных матриц.
-Матрица, обратная данной называется, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица.
Обратная матрица А-1сущ (единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.
Алгоритм нахождения обрат. матрицы: 1) Найти определитель исходной матрицы. (если Δ=0, то А-1 не сущ., если Δ≠0, то А-1 существ.) 2) Находим транспонированную матрицу. 3) Находим присоединенную матрицу, сост. из алгебраических дополнений. 4) Вычисляем обратную матрицу. 5) Делаем проверку
4. Понятие минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример
-В матрице А размера т×п вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы k-го порядка, где k<=min(m;n). Определители таких подматриц наз минорами k-го порядка матрицы А.
-Рангом матрицы А наз. наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы.
-Элементарные преобразования: 1) отбрасывание нулевой строки(столбца). 2) Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное 0. 3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы. 4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов др строки (столбца), умноженных на любое число. 5) Транспонирование матрицы.
Пример: (2 3 5 -3 -2)
А=(3 4 3 -1 -3)
(5 6 -1 3 -5) Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки. Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5. Из третьей строки вычтем первую; получим матрицу
(1 1 -2 2 -1)
В =(0 1 9 -7 0)
(0 0 0 0 0), которая эквивалентна матрице А, так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицы В = 2