30. Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи. Нормальный вектор плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

Общее уравнение плоскости записывается следующим образом:

ax + by + cz + d = 0.

Если известно, что плоскость проходит через точку с координатами (x0, y0, z0), то ее уравнение можно привести к виду

a (x – x0) + b (y – y0) + c (z – z0) = 0.

Частные случаи: 1) если D=0, то ур-е ax + by + cz + d = 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат. 2) если А=0, то ур-е by + cz + d = 0 определяет плоскость, || оси Ох. 3) если А=D=0, то ур-е by + cz = 0 определяет плоскость, проходящую через ось Ох. 4) если А=В=0, то ур-е cz + d = 0 определяет плоскость || плоскости Оху. 5) если А=В=D=0, то ур-е cz = 0 определяет координатную плоскость Оху.

Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости

Условием || двух плоскостей явл. пропорциональность коэффициентов при одноименных переменных А₁/А₂ = В₁/В₂ = С₁/С2, а условием их ┴ - равенство нулю суммы произведений коэффициентов при одноименных переменных

А₁А₂ + В₁В₂ + С₁С₂ = 0

31. Уравнения прямой линии в пространстве как линии пересечения

двух плоскостей. Канонические уравнения прямой. Направляющий

вектор прямой. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей, т.е. как множество точек, удовлетв. сис-ме

{A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0

{A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

Если известны координаты точки A(x0, y0, z0), лежащей на прямой и направляющего вектора n = {l; m; n}, то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

Направляющий вектор прямой – не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой.

Условие || двух прямых: m₁/m₂ = n₁/n₂ = p₁/p₂. Условие ┴ двух прямых:

m₁m₂ + n₁n₂ + p₁p₂ = 0 где s₁ = (m₁, n₁, p₁) и s₂ = (m₂, n₂, p₂) – две прямые с направляющими векторами.

32. Углы между двумя плоскостями, между двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности

двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости.

Пусть даны две плоскости А₁x + D₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0.

У гол φ, образованный этими плоскостями, определяется углом между их нормальными векторами n₁ = (A₁, B₁, C₁) и n₂ = (A₂, B₂, C₂), т.е. по формуле

П усть даны две прямые с направляющими векторами s₁ = (m₁, n₁, p₁) и s₂ = (m₂, n₂, p₂). Тогда угол φ между прямыми находится:

Угол между прямой и плоскостью

Условия ||: 2-х плоскостей - явл. пропорциональность коэффициентов при одноименных переменных А₁/А₂ = В₁/В₂ = С₁/С₂.

2-х прямых- m₁/m₂ = n₁/n₂ = p₁/p₂ где s₁ = (m₁, n₁, p₁) и s₂ = (m₂, n₂, p₂) – две прямые с направляющими векторами.

прямой и плоскости- Am + Bn + Cp = 0

Условия ┴: 2-х плоскостей - равенство нулю суммы произведений коэффициентов при одноименных переменных А₁А₂ + В₁В₂ + С₁С₂ = 0

2-х прямых - m₁m₂ + n₁n₂ + p₁p₂ = 0 где s₁ = (m₁, n₁, p₁) и s₂ = (m₂, n₂, p₂) – две прямые с направляющими векторами

прямой и плоскости- A/m = B/n = C/p