27. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий

Пусть даны 2-е прямые у = k₁x + b₁, y = k₂x + b₂. Условие параллельности прямых: К₁=К₂, условие перпендикулярности прямых: К₁= -1/К₂

28. Кривые второго порядка, их общее уравнение. Нормальное уравнение окружности. Каноническое уравнение эллипса. Геометрический

смысл параметров окружности и эллипса.

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид

a₁₁x² + 2a₁₂xy + a₂₂y² + 2a₁x +2a₂y +a = 0. Предполагается, что среди коэффициентов уравнения a11, a12, a22 есть отличные от нуля.

Нормальное ур-е окружности - (x – х₀)² + (y – у₀)² = R²

Каноническое ур-е эллипса- x²/a² + y²/b² = 1. Кривая второго порядка называется эллипсом, если коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки.

Параметры окружности: центр, радиус- отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности

Параметры эллипса: центр, полуоси, эксцентриситет- характеризует форму эллипса; директриса - прямая, лежащая в плоскости конического сечения (эллипса, гиперболы или параболы) и обладающая свойством, что отношение расстояния от любой точки кривой до фокуса кривой к расстоянию от той же точки до этой прямой есть величина постоянная, равная эксцентриситету.

29. Канонические уравнения гиперболы и параболы, геометрический

смысл их параметров. Уравнение асимптот гиперболы. График обратно пропорциональной зависимости и квадратного трехчлена

Каноническое уравнение гиперболы: x²/a² - y²/b² = 1. Гипербола, симметрична относительно осей координат.

Каноническое уравнение параболы имеет два вида: 1) y2 = 2рx - парабола симметрична относительно оси Оx. 2) x2 = 2рy - парабола симметрична относительно оси Оy. В обоих случаях р>0 и вершина параболы, то есть точка, лежащая на оси симметрии, находится в начале координат.

Уравнения асимптот: у = b/a · x, y = -b/a · x

Обратная пропорциональная зависимость: задается ур-ем ху = m.

График обратной пропорциональной зависимости есть равносторонняя гипербола с асимптотами – осями координат. При m>0 ветви гиперболы расположены в I и III квадрантах, при m <0 - в II и IV.

Квадратный трехчлен: рассмотрим квадратный трехчлен у = Ах² + Вх + С (А≠0). Отсюда у = А(х² + В/А · х + С/А). Дополним выражение в скобках до полного квадрата. у = [( х + В/2А)² + С/А – В²/4А²] = А( х + В/2А)² + (4АС – В²) / 4А.

Обозначив х' = х + В/2А, у' = у – (4АС – В²)/4А, в новой сис-ме координат О'х'у' с ц. О(-В/2А; (4АС – В²)/4А) ур-е примет вид у' = Ах'². Таким образом, график у = Ах² + Вх + С есть парабола с вершиной в т. О и осью симметрии х = -В/2А