- •1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение
- •2. Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.
- •3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная
- •4. Понятие минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример
- •5. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •6. Векторы. Операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число). N-мерный вектор. Понятие о векторном пространстве и его базисе.
- •7. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы
- •9. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с n переменными. Понятие о методе Жордана–Гаусса
- •10. Система m линейных уравнений с n переменными. Теорема Кронекера–Капелли. Условие определенности и неопределенности любой системы линейных уравнений
- •11. Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные системы m линейных уравнений с n переменными. Базисное решение.
- •12. Система линейных однородных уравнений и ее решения. Условие
- •13. Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы).
- •14. Скалярное произведение двух векторов (определение) и его выражение в координатной форме. Угол между векторами.
- •16. Векторное (линейное) пространство, его размерность и базис. Теорема о существовании и единственности разложения вектора линейного пространства по векторам базиса
- •17. Скалярное произведение векторов в n-мерном пространстве. Евклидово пространство. Длина (норма) вектора
- •18. Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный
- •19. Определение оператора. Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов.
- •20. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между вектором х и образом у. Ранг оператора. Операции над линейными операторами. Нулевой и тождественный операторы
- •21. Собственные векторы и собственные значения оператора ã
- •22. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов. Пример
- •23. Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы. Ранг квадратичной формы. Пример
- •24. Квадратичная форма (канонический вид). Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Пример. Закон инерции квадратичных форм
- •25. Положительно и отрицательно определенная, знакоопределенная
- •26. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести)
- •27. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •28. Кривые второго порядка, их общее уравнение. Нормальное уравнение окружности. Каноническое уравнение эллипса. Геометрический
- •29. Канонические уравнения гиперболы и параболы, геометрический
- •30. Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи. Нормальный вектор плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
- •31. Уравнения прямой линии в пространстве как линии пересечения
- •32. Углы между двумя плоскостями, между двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности
1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение
на число, сложение и умножение матриц
-Матрицей размера m×n наз. прямоугольная таблица сост. из m-строк и n-столбцов. aij-элементы матрицы: i-номер строки j-номер столбца.
-Матрица-строка – матрица, сост. из одной строки (1хn).
Матрица-столбец – матрица, сост. из одного столбца.
Квадратная матрица – матрица, у которой кол-во строк = кол-ву столбцов (nxn)
Диагональная матрица – матрица, у которой все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю.
Единичная матрица – диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице.
Нулевая матрица – матрица, у которой все элементы равны 0.
-Транспонирование матрицы- переход от матрицы А к матрице А', в кот. строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. (i-ая строка матрицы А явл. i-ым столбцом матрицы А').
-Равные матрицы - две матрицы А и В одного размера, совпадающие поэлементно, т е aij=bij для любых i=1,2,…m; j= 1,2,…,n
-Умножение матрицы на число: для того, чтобы умножить матрицу А на число k, надо все элементы этой матрицы умножить на это число.
Сложение матриц: для того, чтобы сложить две матрицы одинакового размера, надо сложить все их соответств. элементы. (аналогично и вычитание)
Умножение матриц: пусть А- матрица размера mxn, В- матрица размера nxk. Умножение матрицы А на матрицу В определено, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Тогда произведением матриц А*В называется такая матрица С, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответств. элементы j-го столбца матрицы В.
2. Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.
-Определителем матрицы 2-го порядка наз. число, кот. вычисляется по формуле:
∆2=|А|=|а11а12|=а11а22-а12а21 (произведения а11а22 и а12а21 наз.члены определителя)
|а21а22 |
Определителем матрицы 3-го порядка наз. число, кот. вычисляется по формуле: ∆3=|А3|=а11а22а33+а12а23а31+а21а32а13-а31а22а13-а12а21а33-а32а23а11.
Определителем квадратной матрицы n-го порядка наз число, равное алгебраической сумме п! членов, каждый из кот явл произведением п элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем знак каждого члена определяется как (-1)r(J)где r(J)-число инверсий в перестановке J из номеров столбцов элементов матрицы, если при этом номера строк записаны в порядке возрастания: ∆n=|Аn|=∑(J)(-1)r(J)a1j1a2j2…anjn.
C-ва:1) если какая-либо строка (столбец) матрицы сост. из одних нулей, то ее определитель=0. 2) если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число λ, то ее определитель умножится на это число. 3) При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется. 4) при перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный. 5) если квадратная матрица содержит две одинаковые строки(столбца), то ее определитель=0. 6) если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель = 0. 7) сумма произведений элементов какой-либо строки(столбца) матрицы на алгебраичские дополнения элементов др строки (столбца) этой матрицы = 0. 8) определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки(столбца) матрицы прибавить элементы др строки(столбца), предварительно умноженные на одно и тоже число. 9) Сумма произведений произвольных чисел на алгебраические дополнения элементов любой строки(столбца) = определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки(столбца) на числа b1,b2,…,bn. 10) определитель произведения двух квадратных матриц = произведению их определителей.
-Определитель п-го порядка = сумме произведения элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения. ∆=аi1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin. –разложение по строке. ∆=aijA1j+a2jA2j+…+anjAnj- разложение по столбцу.