11.Разложение функций по переменным. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.

Введем обозначения x0 = (x и x1 = x. Пусть ( — параметр, равный 0 или 1. Тогда x( = 1, если x = (, и x( = 0, если x ( (.

Теорема. Всякая логическая функция f(x1, …, xn) может быть представлена в следующем виде:

где m £ n, а дизъюнкция берется по всем 2m наборам значений переменных x1, …, xm.

Это равенство называется разложением по переменным x1, …, xm.

Д-во: подстановкой в обе части равенства произвольного набора (s₁, …, s_m, s_m + 1, …, s_n) всех n переменных. Так как x^a = 1, только когда x = a, то среди 2^m конъюнкций правой части в 1 обратится только одна — та, в которой a₁ = s₁, …, a_m= s_m. Все остальные конъюнкции равны 0. Поэтому получим,

Чтд

Все переменные в правой части (1) получают фиксированные значения, и функции в конъюнкциях в правой части становятся равными 0 или 1, что дает:

,

где дизъюнкция берется по всем наборам (s1, …, sn), на которых f = 1.

Такое разложение называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) функции f.

Получ по табл . СДНФ выписыв единичн наборы; соедин конъюнкц, между наборами дизъюнк, над Xi=0 ставим отрицание

ДНФ – запись формулы алгебры логики в виде дизъюнкции элементарных конъюнкций (сумма произведений). Элементарная конъюнкция – произведение переменных и их отрицаний. (ху или ØхØу).

СДНФ – такая ДНФ, в которой каждая элементарная конъюнкция является совершенной.

Совершенная элементарная конъюнкция включает полный набор переменных и их отрицаний.

Если СДНФ существует , то она единственная.

Для константы 0 не существует СДНФ, зато существует ДНФ (хØх)

12. Днф, скнф, сднф, кнф. Приведение к кнф и днф.

ДНФ – запись формулы алгебры логики в виде дизъюнкции элементарных конъюнкций (сумма произведений). Элементарная конъюнкция – произведение переменных и их отрицаний. (ху или НЕ х * НЕ у).

СДНФ – такая ДНФ, в которой каждая элементарная конъюнкция является совершенной.

Совершенная элементарная конъюнкция включает полный набор переменных и их отрицаний.

КНФ – запись логической функции в виде конъюнкции элементарных дизъюнкций (произведение сумм)

Элем дизъюнкция – дизъюнкция переменных или их отрицания.

СКНФ – такая КНФ, в которой каждая элемент дизъюнкция явл совершенной.

Пример из тетради

(используем нулевые наборы для составления)

Для константы 1 не существует СКНФ, но существует КНФ (хÙØх)

Процедура приведения к ДНФ: 1)Все отрицания спустить до переменных с помощью 8 и 5. 2)Раскрыть скобки с помощью 1 и 3. 3) Удалить лишние конъюнкции и повторения переменных с помощью 4, 9, 10. 4) Удалить константы с помощью 6 и 7. Процедура приведения ДНФ к СДНФ состоит в расщеплении (обратном склеивании) конъюнкций, которые содержат не все переменные.

Переход от КНФ к ДНФ и обратно всегда осуществим (обычно, с помощью формул Де Моргана).