85. Автономные автоматы.
86. Класс множеств, представимых конечными автоматами.
Конечным автоматом называется система M ={А, S, B, , }, в которой А = {а1, ..., am}, S ={s1, ..., sn}, B ={b1, ..., bk} — конечные множества (алфавиты), а : А S S и : А S B — функции, определенные на этих множествах. А называется входным алфавитом, B — выходным алфавитом, S — алфавитом состояний, — функцией переходов, — функцией выходов. Если, кроме того, в автомате M выделено одно состояние, называемое начальным (обычно будет считаться, что это s1), то полученный автомат называется инициальным и обозначается (M, s1). Способы задания автоматов: таблица переходов автомата, или просто автоматная таблица, ориентированный мультиграф, называемый графом переходов или диаграммой переходов. Для любого графа переходов в каждой вершине si выполнены следующие условия, которые называются условиями корректности: 1) для любой входной буквы aj имеется дуга, выходящая из si, на которой написано aj (условие полноты); 2) любая буква aj, встречается только на одном ребре, выходящем из si (условие непротиворечивости или детерминированности).
87. Регулярные события. Алгебра регулярных событий. Регулярные выражения.
89. Автоматы и теория алгоритмов.
91. Автоматы и языки.
90. Проблемы, алгоритмически разрешимые для автоматов и неразрешимые для произвольных алгоритмов.
Язык логики высказываний. Простые высказывания, сложные высказывания, логические связки. Роль связок в естественном языке.
Синтаксис языка логики высказываний: алфавит и правила построения формул. Семантика языка логики высказываний, интерпретация формул.
Свойства формул: общезначимость, выполнимость, противоречивость.
Основные схемы логически правильных рассуждений.
Алгебра логики. Функции алгебры логики. k-значные логики.
Способы задания функций алгебры логики. Единичные и нулевые наборы функций алгебры логики. Фиктивные (несущественные) переменные.
Бинарные функции алгебры логики.
Суперпозиции и формулы. Глубина формулы. Способы записи формул.
Эквивалентные формулы. Способы установления эквивалентности формул.
Полнота и замкнутость. Функционально полные базисы. Булева алгебра логических операций. Основные эквивалентные соотношения (законы) в булевой алгебре.
Разложение функций по переменным. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
ДНФ, СДНФ, КНФ, СКНФ. Процедуры приведения к ДНФ и КНФ.
Двойственность.
Алгебра Вебба, алгебра Шеффера, импликативная алгебра, коимпликативная алгебра, алгебра Жегалкина.
Полиномы Жегалкина. Процедуры приведения к ПНФ.
Конечно-значные логики. Алгебра Вебба, алгебра Поста, алгебра Россера–Тьюкетта.
Исчисление высказываний как формальная система, множественность аксиоматизаций. Проблема выводимости. Прямой вывод.
Теорема дедукции. Связь выводимости и истинности формул в логике высказываний. Выполнимые и общезначимые формулы.
Понятие логического следования, проблема дедукции. Принцип дедукции. Правило резолюций, метод резолюций. Стратегии метода резолюций.
Методы анализа выполнимости и общезначимости формул: семантическое дерево, тривиальный алгоритм, алгоритм Квайна, алгоритм редукции, алгебраический подход, метод Девиса-Патнема, метод резолюций, фразы Хорна.
Алгоритм построения резолюций для множества фраз Хорна.
Предикат. Предикаты и отношения. Предикаты и функции. Предикаты и высказывания.
Синтаксис языка логики предикатов: алфавит, термы, атомы, правила построения формул.
Кванторные операции. Свободные и связанные вхождения переменных. Логический квадрат.
Множество истинности предикатов. Равносильность и следование предикатов.
Семантика языка логики предикатов, интерпретация формул. Три ситуации при логической интерпретации формул логики предикатов. Проблемы получения истинных формул и проверки формулы на истинность. Эквивалентные соотношения логики предикатов.
Префиксная нормальная форма. Процедура получения префиксной нормальной формы.
Методы доказательства в логике предикатов.
Исчисление предикатов как формальная система. Формальный вывод в исчислении предикатов. Правило переименования свободных переменных. Правило переименования связанных переменных.
Выводимость и истинность в логике предикатов. Эквивалентные преобразования.
Предваренная, сколемовская и клаузальная формы. Алгоритм получения клаузальной формы.
Метод резолюций в логике предикатов. Теорема Черча.
Принцип логического программирования.
Применение логики предикатов в логико-математической практике.
Классификация высказываний по Аристотелю.
Методы рассуждений. Аристотелева силлогистика. Теоретико-множественная интерпретация аристотелевой силлогистики
Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме
Метод (полной) математической индукции
Необходимые и достаточные условия
Понятия формальной системы и формального вывода. Аксиоматическая (формальная) теория и принципы ее построения.
Вывод и выводимость в формальной теории. Разрешимые и неразрешимые формулы. Доказательство и доказуемость. Теорема формальной теории.
Основные свойства формальных систем: непротиворечивость, полнота, разрешимость. Полнота и непротиворечивость исчисления высказываний. Полнота и непротиворечивость исчисления предикатов.
Прикладные исчисления предикатов. Формальная арифметика. Теорема Генцена о непротиворечивости формальной арифметики.
Теоремы о неполноте формальных систем, смысл и значение теорем Геделя для практической информатики.
Неклассические логики.
Интуиционистская логика.
Нечеткая логика.
Модальные логики. Типы модальностей.
Временные логики. Приложение временных логик к программированию.
Алгоритмические логики. Принципы построения алгоритмической логики. Алгоритмическая логика Хоара.
Многозначные логики. Трёхзначная логика Я. Лукасевича. m-значная логика Э. Поста.
Предпосылки возникновения теории алгоритмов. Основные требования к алгоритмам. Подходы к уточнению понятия «алгоритм». Три основных типа универсальных алгоритмических моделей.
Машина Тьюринга. Конфигурация машины Тьюринга. Функция, правильно вычислимая по Тьюрингу. Эквивалентные машины Тьюринга. Композиция машин Тьюринга.
Вычисление предикатов на машине Тьюринга.
Универсальная машина Тьюринга. План построения универсальной машины Тьюринга.
Тезис Тьюринга.
Проблема остановки как пример алгоритмически неразрешимых проблем.
Машина Поста.
Рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные операторы. Частично-рекурсивные функции. Тезис Черча.
Вычислимость и разрешимость. Нумерация алгоритмов. Алгоритмически разрешимые и неразрешимые задачи. Проблема остановки, проблема самоприменимости, проблема пустой ленты.
Требование результативности и теория алгоритмов.
Разрешимые и перечислимые множества. Связь между разрешимостью и перечислимостью множеств. Теорема Райса.
Сложность алгоритмов. Меры сложности алгоритмов. Сложность задачи. Массовые и индивидуальные задачи.
Асимптотическая сложность, порядок сложности. Сложность в среднем и в худшем случае.
Трудоемкость алгоритмов. Классификация алгоритмов по виду функции трудоёмкости
Методики перехода к временным оценкам трудоёмкости алгоритмов. Пооперационный анализ. Метод Гиббсона. Метод прямого определения среднего времени.
Сложность и кодирование. Сложность и архитектура машины.
Полиномиальный алгоритм. Легко- и трудноразрешимые задачи, классы задач P и NP.
Языки и задачи.
Недетерминированная машина Тьюринга (НМТ).
Полиномиальная сводимость и NP-полнота. NP-полные задачи. Примеры NP-полных задач. Теорема Кука. Примеры практически значимых NP-полных задач.
Теория формальных грамматик. Формальные порождающие грамматики. Язык, порождаемый грамматикой.
Классификация грамматик и порождаемых ими языков.
Неукорачивающие грамматики и разрешимость языка.
Метаязык Бэкуса.
Контекстно-свободные грамматики. Приведение контекстно-свободных грамматик.
Алгоритмические проблемы для грамматик.
Алгоритмические проблемы для контекстно-свободных грамматик.
Конечный автомат. Способы задания автоматов.
Автоматное отображение и его свойства. Изоморфизм и эквивалентность автоматов. Неотличимые автоматы.
Минимальный автомат. Алгоритм Мили нахождения эквивалентных состояний.
Частичные автоматы и их минимизация.
Интерпретация автоматов. Основные проблемы абстрактной теории автоматов.
Автоматы Мура. Событие. Представление событий в автоматах.
Автономные автоматы.
Класс множеств, представимых конечными автоматами.
Регулярные события. Алгебра регулярных событий. Регулярные выражения.
Источники и автоматы.
Автоматы и теория алгоритмов.
Проблемы, алгоритмически разрешимые для автоматов и неразрешимые для произвольных алгоритмов.
Автоматы и языки.