59. Рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные операторы. Частично-рекурсивные функции. Тезис Черча.

Всякий алгоритм однозначно ставит в соответствие исходным данным результат. Поэтому с каждым алгоритмом однозначно связана функция, которую он вычисляет.

Верно ли обратное: для всякой ли функции существует вычисляющий ее алгоритм?

Вопрос: для каких функций алгоритмы существуют? Как описать такие алгоритмические, эффективно вычислимые функции?

Примитивно-рекурсивные функции

Очевидно, константы — вычислимые функции

Достаточно одной константы 0 и функции следования f(x) = x + 1 (х¢)

Кроме того, в базис включим семейство функций тождества (или введения фиктивных переменных):

Средства получения новых функций из уже имеющихся

О ператором суперпозиции называется подстановка в функцию от m переменных m функций от n одних и тех же переменных. Она дает новую функцию от n переменных. Например, для функций h(x1, ..., xm), gl(x1, ..., xn), …, gm(x1, ..., xn)

(h, gl, …, gm) = h(gl(x1, ..., xn), …, gm(x1, ..., xn)) = f(x1, ..., xn)

Функция называется примитивно-рекурсивной, если она может быть получена из константы 0, функции х¢ и функций Iⁿ_m с помощью конечного числа применений операторов суперпозиции и примитивной рекурсии.

1. Функции 0, х¢ и Iⁿ_m для всех натуральных n, m, где m £ n, являются примитивно-рекурсивными.

2. Если gl(x1, ..., xn), …, gm(x1, ..., xn), h(x1, ..., xm) — примитивно-рекурсивные функции, то (h, gl, …, gm) примитивно-рекурсивные функции для любых натуральных n, m.

3. Если g(x1, ..., xn) и h(x1, ..., xт, у, z) —примитивно-рекурсивные функции, то Rn(g, h) — примитивно-рекурсивная функция.

4. Других примитивно-рекурсивных функций нет.

Примеры: Умножение, Возведение в степень ,Арифметическое или урезанное вычитание, Cигнум (sg(x)=0, если x=0 и sg(x)=1, если x ¹ 0),модуль разности, минимум двух чисел, максимум двух чисел, деление (остаток и целая часть), «арифметизированные» логических функций

Оператор называется примитивно-рекурсивным, если он сохраняет примитивную рекурсивность функций, т. е. если результат его применения к примитивно-рекурсивным функциям дает снова примитивно-рекурсивную функцию.

Оператор условного перехода примитивно-рекурсивен, как и его обобщение на случай многозначного перехода.

Операторы суммирования и умножения с пределами примитивно-рекурсивны

Ограниченный оператор минимизации m примитивно-рекурсивен.

Функция называется частично-рекурсивной, если она может быть построена из простейших функций 0, х+1, с помощью конечного числа применений суперпозиции, примитивной рекурсии и m-оператора.

Частично-рекурсивная функция называется общерекурсивной, если она всюду определена.

Тезис Черча: всякая функция, вычислимая некоторым алгоритмом, частично-рекурсивна.

Теорема. Функция вычислима машиной Тьюринга тогда и только тогда, когда она частично-рекурсивна.