8.Суперпозиции и формулы. Глубина формулы. Способы записи формул.

Суперпозицией функций f1, ..., fm называется функция f, полученная с помощью подстановок этих функций друг в друга и переименования переменных, а формулой называется выражение, описывающее эту суперпозицию.

Пусть дано множество (конечное или бесконечное) исходных функций å={f1, ..., fm}. Символы переменных х1, ..., хn, ... и констант 0 и 1считают формулами глубины 0. Любая формула имеет глубину k+1, если она имеет вид fi(F1, ..., Fnl), где fiSÎ, ni — количество аргументов fi, а F1, ..., Fnl — формулы, максимальная из глубин которых равна k. F1, ..., Fnl называются подформулами F, fi называется внешней или главной операцией формулы F. Все подформулы формул F1, ..., Fnl — также считаются подформулами F.

Все формулы, содержащие только символы переменных, скобки и знаки функций из множества å, называются формулами над å.

Формула каждому набору значений аргументов ставит в соответствие значение функции и, следовательно, может служить наряду с таблицей способом задания и вычисления функции. О формуле, задающей функцию, говорят также, что она реализует или представляет эту функцию.

Способы записи:

• префиксная или прямая польская запись (and(x, or(y, z));

• Знак бинарной операции или функции часто записывают между операндами — такая нотация называется инфиксной xÙ(yÚz) или x and (y or z);

• обратная польская (или постфиксная) запись —знак функции или операции располагается после списка x y z Ú Ù

10.Полнота и замкнутость Функционально полные базисы. Булева алгебра логических операций. Основные эквивалентные соотношения (законы) в булевой алгебре.

Множество M логических функций называется замкнутым классом, если любая суперпозиция функций из M снова принадлежит M.

Всякая система S логических функций порождает некоторый замкнутый класс, а именно, класс, состоящий из всех функций, которые можно получить суперпозициями из S. Такой класс называется замыканием S и обозначается [S]. Очевидно, если M — замкнутый класс, [M] = M, а если M — функционально полная система, [M] = P2.

Система булевых функций {f1,…,fn} называется полной, если любая булева функция мб выражена через функции f1,…, fn с помощью суперпозиций (т.е. составления сложных функций). Формулой называется выражение, описывающее эту суперпозицию.

Формулы, содержащие кроме переменных и скобок знаки этих функций(дизъюнкции, конъюнкции и отрицания) называются булевыми.

Всякая логическая функция может быть представлена булевой формулой, т.е. как суперпозиция дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.

Следствие: система булевых функций функциональна полна.

Алгебра (Р2; &, Ú, Ø), основным множеством которой является множество всех логических функций Р2, а операциями дизъюнкция, конъюнкция и отрицание, называется булевой алгеброй логических операций.

Основные эквивалентные соотношения (законы) в булевой алгебре:

ассоциативностей aÚ(bÚc)=(aÚb)Úc, aÙ(bÙc)=(aÙb)Ùc;

коммутативностей aÚb=bÚa, aÙb=bÙa;

дистрибутивностей aÙ(bÚc)=aÙbÚaÙc; aÚbÙc=(aÚb)Ù(aÚc);

идемпотентностей aÚa=a, aÙa=a;

двойного отрицания ØØa=a;

законы нуля (лжи) aÚ0=a, aÙ0=0, aØÙa=0;

законы единицы (истины) aÚ1=1, aÙ1=a, aØÚa=1.

де-Моргана ØaØÚb=Ø(aÙb), ØaØÙb=Ø(aÚb);

противоречия aÙØа=0

исключенного третьего aÚØа=1

Для упрощения формул наряду с основными соотношениями используют также тождества:

поглощения aÚaÙb=a, aÙ(aÚb)=a;

склеивания aÙbÚaØÙb=a, (aÚb)Ù(aØÚb)=a;

обобщенное склеивание aÙcÚbØÙcÚaÙb =aÙcÚbØÙc;