53.Машина Тьюринга. Конфигурация машины Тьюринга. Функция, правильно вычислимая по Тьюрингу. Эквивалентные машины Тьюринга. Композиция машин Тьюринга.

МАШИНЫ ТЬЮРИНГА состоит из 1) управляющего устройства, которое может находиться в одном из состояний, образующих конечное множество Q = {q₁, …, q_n}; 2) ленты, разбитой на ячейки, в каждой из которых может быть записан один из символов конечного алфавита А = {а₁ ..., а_m}; 3) устройства обращения к ленте, т. е. считывающей и пишущей головки, которая в каждый момент времени обозревает ячейку ленты, в зависимости от символа в этой ячейке и состояния управляющего устройства записывает в ячейку символ, сдвигается на ячейку влево или вправо или остается на месте; при этом управляющее устройство переходит в новое состояние (или остается в старом). Среди состояний выделены начальное состояние q₁ и заключительное состояние, q_z. Память машины Тьюринга — это конечное множество состояний (внутренняя память) и лента (внешняя память). Лента бесконечна в обе стороны. Данные машины Тьюринга — это слова в алфавите ленты; на ленте записываются и исходные данные, и окончательные результаты. Элементарные шаги машины — это считывание и запись символов, сдвиг головки на ячейку влево и вправо, а также переход УУ в следующее состояние. Детерминированность машины: для любого внутреннего состояния q_i и символа a_j однозначно заданы а) следующее состояние q'_i; б) символ a'_j, который нужно записать вместо a_j в ту же ячейку; в) направление сдвига головки d_k: L (влево), R (вправо), Е (на месте). Это задание может описываться либо системой правил (команд), имеющих вид q_i a_j ® q'_i a'_j d_k (1), либо таблицей, либо блок-схемой (диаграммой переходов). Конфигурация МТ: Полное состояние машины Тьюринга определяется ее внутренним состоянием, состоянием ленты (т.е. словом, записанным на ленте) и положением головки на ленте. Полное состояние будем называть конфигурацией, или машинным словом, и обозначать тройкой a₁q_ia₂, где q_i — текущее внутреннее состояние, a₁ — слово слева от головки, а a₂ — слово, образованное символом, обозреваемым головкой, и символами справа от него, причем слева от a₁ и справа от a₂ нет непустых символов. Стандартной начальной конфигурацией назовем конфигурацию вида q₁a. Стандартной заключительной конфигурацией назовем конфигурацию вида q_za. Правильное вычисление функции f. Пусть f — функция, отображающая множество векторов над А_исх в множество векторов над А_рез. Машина Т правильно вычисляет функцию f, если: 1) для любых V и W, таких, что f(V) = W, q₁V* q_zW*, где V* и W* — правильные записи V и W соответственно; 2) для любого V, такого, что f(V) не определена, машина Т, запущенная в стандартной начальной конфигурации q₁V*, работает бесконечно. Если для f существует машина Т, которая ее правильно вычисляет, функция f называется правильно вычислимой по Тьюрингу. Всякой правильно вычисляющей машине Тьюринга можно поставить в соответствие вычисляемую ей функцию. Две машины Тьюринга с одинаковым алфавитом А_исх эквивалентны, если они вычисляют одну и ту же функцию. Теорема 1. Если f₁(x) и f₂(у) вычислимы по Тьюрингу, то их композиция f₂(f₁(x)) также вычислима по Тьюрингу. T₁ — машина, вычисляющая f₁, T₂ — машина, вычисляющая f₂, и множества их состояний соответственно Q₁={q₁₁, ..., q_1n1} и Q₂={q₂₁, ..., q_2n2}. Построим Т: систему команд T₂ приписываем к системе команд T₁, при этом q_1z в командах T₁ заменяем на q₂₁ — n₁ + n₂ – 1 состояниями. Начальным состоянием Т объявим q₁₁, а заключительным — q_2z. Т будем называть композицией машин T1 и T2 и обозначать T2(T1).