52. Предпосылки возникновения теории алгоритмов. Основные требования к алгоритмам. Подходы к уточнению понятия «алгоритм». Три основных типа универсальных алгоритмических моделей.

Предпосылки:

вторая половина XIX в. — математика нечисловых объектов — открытие неэвклидовых геометрий, появлением абстрактных алгебраических теорий типа теории групп и т.д.

теория множеств как основа математики и парадоксы теории множеств Þ метаматематика

финитный подход: конечные комплексы действий над конечным числом объектов

Теория алгоритмов — раздел математики, изучающий общие свойства алгоритмов.

Алгоритм, алгорифм, — точное предписание, которое задает вычислительный процесс (называемый в этом случае алгоритмическим), начинающийся с некоторого исходного данного (из некоторой совокупности возможных для данного алгоритма исходных данных) и направленный на получение полностью определяемого этим исходным алгоритмом результата.

Зачем формализовать понятие «алгоритм»

правильное словоупотребление

разработка конкретных алгоритмов, особенно когда имеется в виду их последующее программирование

упорядочивание алгоритмического хозяйства — необходимо уметь сравнивать различные алгоритмы решения одних и тех же задач, причем не только по качеству решения, но и по характеристикам самих алгоритмов (числу действий, расходу памяти и т.д.).

Сами алгоритмы должны стать такими же предметами точного исследования, как и те объекты, для работы с которыми они предназначены

Требования:

Каждый алгоритм имеет дело с данными — входными, промежуточными и выходными Þ необходимо уточнить понятие данных

Данные для своего размещения требуют памяти

Алгоритм состоит из отдельных элементарных шагов, или действий, причем множество различных шагов, из которых составлен алгоритм, конечно

Последовательность шагов алгоритма детерминирована

Результативность (сходимость)

Следует различать: а) описание алгоритма (инструкцию или программу); б) механизм реализации алгоритма (например, ЭВМ); в) процесс реализации алгоритма.

О подходах к уточнению понятия «алгоритм»

Выбирается конечный набор исходных объектов, которые объявляются элементарными, и конечный набор способов построения из них новых объектов

уточнение понятия «данные» — множества слов в конечных алфавитах

для уточнения детерминизма будем использовать либо блок-схемы и эквивалентные им словесные описания, либо описание механизма реализации алгоритма

нужно!!! зафиксировать набор элементарных шагов и договориться об организации памяти

Типы моделей:

Первый тип связывает понятие алгоритма с наиболее традиционными понятиями математики — вычислениями и числовыми функциями. Наиболее развитая и изученная модель этого типа — рекурсивные функции — является исторически первой формализацией понятия алгоритма.

Второй тип основан на представлении об алгоритме как о некотором детерминированном устройстве, способном выполнять в каждый отдельный момент лишь весьма примитивные операции. Основной теоретической моделью этого типа является машина Тьюринга.

Третий тип алгоритмических моделей — это преобразования слов в произвольных алфавитах, в которых элементарными операциями являются подстановки, т. е. замены куска слова (подслова) другим словом. Преимущества этого типа — в его максимальной абстрактности и возможности применить понятие алгоритма к объектам произвольной (не обязательно числовой) природы. Примеры — канонические системы Поста и нормальные алгоритмы Маркова