27. Префиксная нормальная форма. Процедура получения префиксной нормальной формы.

Префиксной нормальной формой (ПНФ) называется формула, имеющая вид

Q1x1, Q2x2, …, QnxnF — кванторы; F — формула, не имеющая кванторов, с операциями {&, Ú, Ø}. В логике предикатов для любой формулы существует эквивалентная ей префиксная нормальная форма.

Получение ПНФ:

1) Используя формулы

P1 ~ P2 = (P1 ® P2) & (P2 ® P1),

P1 ® P2 = Ø P1 Ú P2

заменить ®, ~ на &, Ú, Ø.

2) Спустить символы отрицания непосредственно на символы предикатов

3) Для формул, содержащих подформулы вида

"xP1(x) Ú "xP2(x), $xP1(x) Ú $xP2(x),

ввести новые переменные, позволяющие использовать эквивалентные соотношения

4) С помощью эквивалентных соотношений получить формулы в виде ПНФ

Пример из тетради

28. Методы доказательства в логике предикатов.

Метод интерпретаций или методом моделей —доказательство формул, содержащих переменные, путем непосредственной постановки в них констант

Множество истинных формул порождается из исходных формул (аксиом) с помощью формальных процедур — правил вывода.

Методы рассуждений, использующие только конечные множества конечных объектов, называют финитными.

Множества, порожденные такими формальными методами, называются формальными системами.

29. Исчисление предикатов. Формальный вывод в исчислении предикатов. Правило переименования свободных переменных. Правило переименования связанных переменных.

Исчисление предикатов — это общее название формальных систем, служащих для формализации логических умозаключений, в которых учитывается как логическая структура суждений (то есть каким образом данное суждение получено из других с помощью логических операций), так и их субъектно-предикатная структура, то есть связь между субъектом суждения (о чем говорится в данном суждении) и предикатом (что говорится о субъекте). При этом для логического анализа суждений наряду с такими логическими операциями, как конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, отрицание, используются кванторы, а субъектно-предикатная структура уточняется с помощью понятия предиката.

Алфавит ИП: 1) предикатные переменные — выражения вида , где m и n — неотрицательные целые числа; 2) предметные переменные и предметные константы a1, a2, a3… 3) логические символы & (или Ù — конъюнкция), Ú (дизъюнкция), ® (импликация), ~ (эквивалентность), ¬ (отрицание), $ (квантор существования), " (квантор всеобщности); 4) вспомогательные символы (,) (скобки) и , (запятая). Выражение называется m-местной предикатной переменной; 0-местные предикатные переменные называются пропозициональными переменными.

Элементарной формулой называется всякая пропозициональная переменная, а также любое выражение вида P(y1, …, ym), где P — какая-либо m-местная предикатная переменная (m > 0), а y1, …, ym — произвольные предметные переменные. Из элементарных формул следующим образом строятся предикатные формулы:

1) все элементарные формулы суть формулы;

2) если G и F — формулы, то выражения (G & F), (G  Ú  F), (G  ® F), (G ~ F), Ø G считаются формулами;

3) если G — формула, x — предметная переменная, то "x G и $x G суть формулы.

Аксиомы

A1. A ® (B ® A);

A2. (A ® (B®C)) ® ((A®B) ® (A®C));

A3. (ØA ® ØB) ® ((ØA ® B) ® A),где A, B и C — любые формулы исчисления предикатов.

Две следующие предикатные аксиомы (аксиомы Бернайса)

PА1. "xF(x) ® F(y),

PА2. F(y) ® $xF(x), где F(x) — любая формула, содержащая свободные вхождения x, причем не одно из них не находится в области действия квантора по y (если таковой имеется), а формула F(y) получена заменой в F(x) каждого свободного вхождения переменной x на y.

Правила вывода исчисления предикатов

правило Modus Ponens

— "-правило, позволяющее из формулы (F ® G) получить формулу (F ®  "x G), где F  и  G — произвольные предикатные формулы, причем F не содержит свободную переменную x;

— $-правило, позволяющее при тех же предположениях относительно формул G, F и переменной x перейти от формулы (G  ®  F) к формуле ($x G  ®  F ).

"–правило, или правило обобщения

$–правило, или правило конкретизации

G(x) содержит свободное вхождение x, а F не содержит

Выводом формулы G в исчислении предикатов называется конечная последовательность формул B1, . . .,  Bm такая, что каждая из формул Bi либо есть аксиома, либо получается из некоторых предшествующих ей формул по одному из перечисленных правил вывода, и Bm совпадает с G. Формула G выводима в исчислении предикатов, или является теоремой, если можно построить вывод этой формулы. Согласно теореме Геделя о полноте, все общезначимые предикатные формулы и только они выводимы в классическом исчислении предикатов.

Примеры вывода в исчислении предикатов

Пример 1. Правило переименования свободных переменных

Из выводимости формулы F(x), содержащей свободные вхождения x, ни одно из которых не находится в области действия квантора по у, следует выводимость F(y).

1) |– F(x) — по условию

2) F(x) ® (G ® F(x)) — А1, в качестве G выбираем любую доказуемую формулу, не содержащую свободных вхождений x.

3) (G ® F(x)) — из 1 и 2 по МР

4) G ® "x F(x) — правило обобщения к 3

5) "x F(x) — МР к 4 и G

6) F(y) — МР к РА1 и 5 (ч.т.д.)

Пример 2. Правило переименования связанных переменных

"x F(x) |– "y F(y), $x F(x) |– $y F(y) при условии, что F(x) не содержит свободных вхождений y и содержит свободные вхождения x, ни одно из которых не входит в область действия квантора по y.

1) |–"x F(x) — по предположению

2) "x F(x) ® F(y) — аксиома РА1

3) "x F(x) ®"y F(y) (правило обобщения к 2)

4) "y F(y) — МР к 1 и 3