1.Язык логики высказываний. Простые высказывания, сложные выск, лог связки. Роль связок в естественном языке.

Высказывание — повеств. предл. (утверж-ие, сужд-ие), кот истинно или ложно. Высказ мб простым или сложным. Сложное высказ. образ-ся из простых с пом-ю логических связок.

Лог. связки:

Конъюнкция (результат соединения высказываний с помощью связки <<и>>) дает сложное высказ, истинное только тогда, когда истинны оба составляющие его высказ. (xˆy или x & y)

Дизъюнкция (…<<или>>) дает сложное высказ, истинное, когда истинно хотя бы одно из составляющих его высказ. (xˇy или x + y)

Инверсия (отрицание) (результат применения к высказ связки <<не>>) дает сложное высказывание, истинное, когда исходное высказ ложно.

Импликация (следование) (… <<если ... , то>>) дает сложное высказ, ложное, только когда первое из составляющих его высказ истинно, а второе -- ложно.(х->у)

Эквивалентность (… <<тогда и только тогда>>) дает сложное высказ, истинное, когда истинность составляющих его высказ. совпадает.(х<->y).

Язык логики высказ. включает бесконечное мн-во переменных, представляющих высказ-я, и набор символов для обозначения логических связок(&,->, и т.д.)

Роль связок: для соединения простых высказ-ий в более сложные

2.Синтаксис языка логики высказываний: алфавит и правила построения формул. Семантика языка логики высказываний, интерпретация формул.

Высказывание — повествовательное предложение (утверждение, суждение), о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно.

Формулы — высказывания и высказывательные формы

Буквы, обозначающие высказывания, логические связки и скобки составляют алфавит языка логики высказываний. С помощью элементов алфавита можно построить разнообразные логические формулы.

Выражение, составленное из обозначений высказываний и связок (а также скобок), — логическая формула, если:

-любая переменная, обозначающая высказывание, — формула; (Т.е. такие формулы - это элементарные высказывания, к которым применена только одна логическая связка).

-если A и B — формулы, то (A & B), (A Ú B), (ØA), (A ® B), (A ~ B), (A Å B) — формулы;

-других формул нет.

Пусть А(х1,…,хn) – формула, а х1,…,хn – переменные. Конкретный набор истинностных значений x1,…,xn называется интерпретацией формулы А. При одной интерпретации А может быть истинной, а при какой-то другой ложной. Значение формулы А в интерпретации I обозначается I(A). Формула, истинная при некоторой интерпретации, называется выполнимой. Формула, истинная при всех возможных интерпретациях, называется общезначимой ( или тавтологией). Формула, ложная при всех возможных интерпретациях, называется невыполнимой (или противоречием).

3.Свойства формул: общезначимость, выполнимость, противоречивость.

Логическая формула – это выражение, составленное из обозначений высказываний и связок (а также скобок), удовлетворяющее след условиям:

-любая переменная, обозначающая высказывание, — формула; (Т.е. такие формулы - это элементарные высказывания, к которым применена только одна логическая связка).

-если A и B — формулы, то (A & B), (A Ú B), (ØA), (A ® B), (A ~ B), (A Å B) — формулы;

-других формул нет.

Пусть А(х1,…,хn) – формула, а х1,…,хn – переменные. Конкретный набор истинностных значений x1,…,xn называется интерпретацией формулы А. Формула, истинная при некоторой интерпретации, называется выполнимой. Формула, истинная при всех возможных интерпретациях, называется общезначимой ( или тавтологией). Формула, ложная при всех возможных интерпретациях, называется невыполнимой (или противоречием).

Пример

Аˇ¬А – тавтология, А&¬А –противоречие, А->¬А–выполнимая формула, она истинна при I(A)= Л.