1.Случайные события и операции над ними.

Случайное событие – это такое событие, которое при воспроизведении одного и того же комплекса условий происходит каждый раз несколько по иному. Операции над событиями:

Будем говорить, что событие А влечет за собой событие В, если из наступления события А следует наступление события В.

Равенство событий А=В возможно тогда и только тогда, когда А содержится в В и В содержится в А. Объединением или суммой (А+В) событий А и В называется событие, состоящие в том, что произошло либо А, либо В, либо оба события одновременно.

Пересечением или произведением (А*В) множеств А и В называется событие, состоящее в том, что произошли оба события А и В одновременно, т.е. А*В содержит элементарные исходы, входящие одновременно и в А и в В. Разностью А/В (А-В) событий А и В называется событие, состоящее в том, что событие А произошло, но не произошло событие В.

Противоположным к событию А называется событие Ā, состоящее в том, что событие А в результате эксперимента не произошло. Ā содержит те элементарные исходы, которые не входят в множество А.

2.АЛГЕБРА СОБЫТИЙ. Пусть S – множество всех подмножеств Ω, для которого выполняются следующие свойства: 1) если А ϵ S и В ϵ S, то А+В=АᴗВϵS, 2) если А ϵ S и В ϵ S, то А*В=АᴖВϵS, 3) если А ϵ S, то Ā ϵ S, тогда множество S называется алгеброй событий.

3.Частота и вероятность.

Вероятностьявляется количественной мерой возможности появления рассматриваемого события.

Вероятность любого события есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Аксиомы вероятности: 1) Р (А)=p≥0, гдеА ϵ S.

2) Р (Ω)=1.

3) Если события А₁, А₂,…, А_n несовместные, то верно равенство: Р(А₁+А₂+…+ А_n)=Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n).

Относительная частота появления события А – это отношение числа m₁ появлений события А в серии из n₁ опытов, к числу испытаний.

4.КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ. Если пространство элементарных исходов содержит конечное множество элементов, а все исходы равновозможные, то вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А, к числу всех возможных исходов. P (А) = m(А)/n, где m– число благоприятствующих событию А исходов, n – общее число возможных исходов. Из классического определения следуют свойства вероятности: 1) 0 ≤ Р (А) ≤ 1,

2) Р (Ω)=1, А+Ā=Ω – достоверное событие, поэтому Р (А) + Р (Ā) = 1.

5.Геометрические вероятности и статистическая вероятность.

Пусть проводится серия опытов (n раз), в результате которых наступает или не наступает некоторое событие А (m раз), тогда отношение m/n, при n→∞, называется статистической вероятностью события А.

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области (такой способ используется и для определения вероятности плоских и пространственных фигур).

6.Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теорема 1.Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме их вероятностей: Р (А+В)=Р (А)+Р (В).

Следствие 1. Если события А₁, А₂,…, А_nпопарно несовместные, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: Р(А₁+А₂+…+ А_n)=Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n).

Следствие 2. Вероятность суммы попарно несовместных событий равна единице:

Р(А₁+А₂+…+ А_n)=Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n)=1.

Теорема 2. Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения: Р (А+В)=Р (А)+Р (В)-Р (А*В).

Теорема 3. Вероятность произведения двух независимых (если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого) событий А и В равна произведению их вероятностей: Р (А*В)=Р (А) * Р (В).

Теорема 4. Вероятность произведения двух зависимых (обратное независимым) событий А и В равна произведению вероятности наступления события А на условную вероятность события В, при условии, что событие А уже произошло: Р (А*В)=Р (А)*Р (В/А).